Exemple
Soit réquation
(- + «)' g,-*(-H-ii^J-H6y = 0.
En posant x h- ! = e' on a
c^^^ ^ dt ^-^y-"-
L'équation caractéristique a pour racines 2 et 3 ; l'intégrale est donc
c'est-à-dire, enfin,
T-iJrTii.ri.i les J-rlv-rs 7^: . -.-* — 7^, OD aora, pour la dcri- Vi^e de y, l'expression
dont la forme est la m^me que dans l'hypothèse où Cj, C*, ... C, sont d»^> coa-tanît-i.
De m-^me, la diiTêrenliation de l'expression (16) donne
^^ drr ^ dx dx
f^i donc on pose
^^ dx dx '
on aura, pour la dérivée seconde de y, l'expression
au,** .«^ d-t^
dont la forme est la même que dans le cas où Ci, Cj, ... C, sont des constantes.
En continuant de la sorte, on obtiendra les n — 1 reIation> cherchées
^ •'* dx ^ ^^ dx dx ^ dx^ — dx ^
et, en môme temps
Il reste actuellement à écrire la condition que nous avons énoncée en premier lieu et qui consiste en ce que Texpression (14) doit satisfaire à Téquation (A). Dansée but, ondifférentiera la dernière des équations (20), ce qui donne
^ — V r ^-ln ^ V ^"-y^ ^> (91]
dx» "" 2à ' d/;'» "^ ^ daf^'^ dx' ^^ ^
596 CHAPITRE XII l
468. Un cas particulier fort important est celui où les coefficients P,, P^, ... P» de l'équation (A) sont constants, le second membre Q étant seul fonction de x.
On connait aloi*s n intégrales particulières de Téquation (B) puisque (B) a dans ce cas ses coefficients constants» Ces n solutions sont
yi = «''*^» y* = «*'-^ .... y» = e"""*
r,, r^, ... Tn étant les racines de Féquation caractéristique {n° 439).
L'intégrale générale de l'équation (A) s'obtient donc (n^ 467) au moyen de n quadratures.
Voici un exemple :
Soit l'équation différentielle
g-(»-.-Hr,)g + r.r,rf^ = U (26)
OÙ Tj et r^ sont des nombres donnés, tandis que Q est une fonction donnée de x.
Les racines de l'équation caractéristique sont ici n et r^, et l'on a
Les équations du premier degré qui délerminent t-^ et-^ sont donc
ViX a\jM jr^x a\ja f^
cLo dx
Elles donnent
dx Tj — Tj ^ dx r, — î*j '
qui, puisque 7 satisfait à Téquaiion (A), se réduit à
laquelle n'est autre que Téqualion (B).
