L'intégrale générale de (A) a donc la iorme
y = C.y, -h Cj^a 4- ... -h C„y„ -h Y, (28
Y étant une solution quelconque de Téquation (A). 11 suit de là que y équation linéaire n'admet pas de solution singulière. En effet, une solution quelconque y = 7 se déduit de Vialégrale générale (28) en y faisant Ci = C, = ... = G,= 0.
471. Nous avons considéré au n<» 468 le cas où, dans l'équation (A), les coefficients P„ P^, ... P„ sont constants tandis que le second membre Q est une fonction de x ; et, nous avons vu que l'intégration exigeait n quadratures.
Le théorème VII permet d'éviter ces qiiadratures lorsqoele second membre Q revêt Tune des trois formes
Q = V ae^- (30)
Q = 2 (a ces Kx 4- p sîn Kx) ; (3!)
car, dans chacune de ces hypothèses, on peut trouver imm^ diatement, pour l'équation (A), une solution particulière ayant la môme forme que l'expression de Q et dont on détermine les coefficients (c'est-à-dire les quantités désignées ci-dessus par des lettres grecques) par la méthodes des coefficients indéterminés.
Celte intégrale particulière étant obtenue, on l'ajoutera (n° 469) à l'intégrale générale de (B).
Voici des exemples relatifs à chacune des trois formes de Q.
1® Soit l'équation différentielle
^^ — 2/ == ao?» + ?^v^ -h Y^ -^ S- (32)
i::quat[0N3 linkaibbs d ordrb quelconque
l^osons
Y = Aî^ -H Baj» -H Gr H- D,
et substituons celle valeur à la place de y dans 1' proposée (3). En ordonnant par rapport à ^ et à zéro les coefûcients des diverses puissances de x, nou les relations
A + « = 0, B-}-p = 0, CA — C — f = 0, 2B — D-
<l'où l'on lire
L*intégrale particulière demandée est donc
Y = -<«»'- K - (6 - + 1) ^ - (2 P + 5). 2° Soit l'équation différentielle
OÙ P,, Pj, ... P„„ P„ sont des constantes. En posant
Y = Ae*' et substituant dans (34), on aura pour déterminer A la
Ae**[ft"-i-PjA„, -H ...H-P„,A -i-P„]=«e*',
c'est-à-dire, en dtîsigoant par f{k) = 0 l'équation rîstique,
A/-(t) = . d'où A = ^.
La solution particulière demandée est donc Y- *"
6(H3 GHAPITRB Xlll
La méthode est en défaut lorsque k est une racine de Téquatioa caractéristique ; ii convient alors d*appliqaer la méthode générale (n*» 468).
3** Soit enGn Téquation différentielle
^ H- y = ces Kx. (37)
En posant
Y = A ces Kx (38)
et substituant dans (37), on obtient
— A ces Kx (K* — i) = ces Kx, d'où A = . ^^^
et la solution particulière demandée est
La méthode est en défaut lorsque K est égal à 1 ou à — 1. Il convient alors d'avoir recours à la méthode générale (n^ 468) ; on trouvera ainsi
C/»,/ • , â? SIu U/ ces X -\- \j ^\n X -\ s —
pour Tintégrale de
-rt -h v = cos a:
Abaissement de Tordre d^une équation dilTérentlelle linéaire
472. Si Ton connaît n intégrales particulières distinctes de l'équation (B), on peut (n^ 467) intégrer l'équation (A) c'est-àdire ramener son intégration à la recherche de n quadratures, n étant Tordre des équations différentielles (A) et (B).
*.-yt CHAPITRE jon
on aura, ponr la dérivée de y, l'expressioa
dont la forme esl la même que dans Thypothèse où Ci, Cj, C. soQt des constantes.
De même, la différentiation de 42) donne
dx
si donc on pose
cLl* c/a' dx dv ' dx dx *
on aura pour la dérivée seconde de y, Texpression
g = C,S?-.cS*C.g. H)
Il reste actuellement à écrire que l'expression (iO) doit satisfaire à l'équation (A). Dans ce but, on différentîera iroi^ fois de suite l'équation (iiy ce qui donne
d^y — r ^'y -u r ^''-^i -^ f ^'-'^3 ^ «£ firvi
tV — C ?^^« C tlfl^V ^
d'i/ p C?^y, p rfy p rf\v, ... ,du ,j-r^
en posant
^% ^Çt ^ i:lù i^ -4- ^/3 ??5i == tt (40) dx' dx ' rf./.-- dx dx^ dx
dhi^ dC, fjh/, dC, d'y, dC, ,,ç.
dx' dx "^ dx^ dx '^ dx" dx '^^' ^^
d'ju (JC, d^ rfCj ,d^hdC^ ,, /«A-,
dx' dx "^ dx' dx "^ dx' dx "" ^' ^ '
Cela fait, on portera dans (A) les valeurs (40), (42), (44), (45.
EQUATIONS LINK
(tS',,(«-)dej,,i;»,g, nant de celte substitution
Mais le système forme compatible, puisque par 1
rent de zéro. 11 doone ] valeurs bleu détermini^es
dcc* ' '
X,, X,, Xj désignant des D'autre part, les 6quali
Z, et Z, étant aussi dos fo tioD de ces expressions d 1 équation linéaire du sect
Donc, en dérinîtive, générale de (A,), qui con puis on aura G,, C^, C, p
■qui introduiront trois noi En portant les valeurs l'uquation proposée (A), tantes arbitraires.
fr*Ji CHAPITRE XIU
474* CoDsid»TODs le cas où m = 1 c'esl-à-dîre où Ton ne coanait qa'uae s^ule inU'grale i/i de Véquaiioa (B). On posera alors, au lieu de (40),
y = C, y, (iO )
f I, étant une fonction inconnue de x qu'on déterminera par la condition que cette expression (40'; satisfasse à l'équation A). A cet eflt't, on calculera les dérivées successives dey à l'aide de la formule de Leibnitz (tome I, n° 88) relative aux dérivées des divers ordres du produit de deux fonctions de x; poisson substituera y et ses dérivées dans Téquation (A). On obtient de la sorte
les coefficients V«, V,, ... V„ ayant pour expression V — ^!h ^ p ^'ll^i ^ ^ p '^yi -X. p V
Mais Vo est nul puisque par hypothèse y, est une solution de (B), et si l'on pose
réquation (47) se réduit à
qui est une équation différentielle linéaire d'ordre 72 — 1. Oa a donc ainsi abaissé d'une unité l'ordre de l'équation proposée.
608 CHAPITRE Xm
c'esl-à-dîre
dx ^ dx que l'on peut écrire
ce qui donne
pour rintégrale demandée.
478. Un très grand nombre de problèmes relatifs à la Physique mathématique conduisent à des équations difTérentielles de la forme (52). On ne sait intégrer une telle équation que dans un fort petit nombre de cas particuliers, et lors même qu'on possède l'expression, sous forme finie, delà fonction qui satisfait à l'équation considérée, il est le plus souvent très difficile de reconnaître d'après cette expression la marche et la- propriété caractéristique de cette fonction.
Mais on peut arriver à ce but par la seule considération de réquation différentielle sans qu'on ait besoin de son intégration. Celte recherche a fait l'objet d'un mémoire justement célèbre publié par Sturm dans le journal de Lionville (tomel, 1833). Nous ne saurions ici analyser même succinctement ce travail considérable. Nous nous bornerons à reproduire presque textuellement la partie que le grand géomètre avait crn devoir introduire dans son Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique.
4'70« Considérons la relation (53).
1° La constante C étant, en général, différente de zéro, nous la supposerons positive ; on aura alors
ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUEL(
Donc la fonction y et sa dérivée ^ ne pet simultanément.
La même propriété appartient aux fonelio.
2* Deux valeurs de x qui annulent y, i valeur de x qui annule y. En effet, si y, s'an et pourx = b, OE aura dans l'un et l'autre c gaUté(55),
Donc y a^ -^ ont des signes contraires. Mai
deakb, -^ change de signe pour ane certai donc y doit aussi changer de signe, avant qi Par suite, la fonction y s'évanouit pour une prise entre a et b.
De même, entre deux valeurs de x qui ani une valeur de x qui annule y,.
3° Il résulte de là que, si l'on fait croître lions y et y, s'annuleront, l'une après l'autre
Il est aisé de vérifier ces résultais sur l'éqi
dont l'intégrale générale est
y = C sin a; + C coa cv.
Procédé d'Intéfsrallon par le:
480. Il existe une méthode d'intégrati< puissante, quoiqu'elle doive ôtre pratiquée a dont le principe est des plus simples. Design
CiicuL inriRiTiBinL
$10 CHAPITRB XllI
l'équation différentielle, et cherchons, comme intégrale, une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x — x^\ elle aura la forme
y — y* = fl« (^ — ^o)' ^- «1 (^ — ^o)'^' h- - (5T)
V étant un nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif. En fait, on pourrait essayer des séries infinies dans les de«i sens, ou des séries dont les exposants contiendraient plusieurs exposants fractionnaires se succédant suivant une loi quelconque ; mais nous excluons volontairement de pareilles séries et nous nous limitons au type (57). On substituera la série (57) dans l'équation (56) et, en exprimant que cette équation est identiquement vérifiée, on aura des identités qui détermineront r, «0, aj, flj, ...., pourvu que l équation proposée admette effectivement une intégrale de la forme (57).
Il est essentiel de remarquer qu'il ne suffira pas d'avoir déterminé les coefficients; il faudra encore s'assurer que la série obtenue est convergente dans un certain domaine, foute de quoi la solution serait illusoire. Nous donnerons bientôt des exemples des deux espèces ; mais nous ferons d'abord quelques remarques.
48 !• Si des séries de la forme (57) ne conduisent à aucun résultat, on pourra essayer des expressions telles que
?i (•») Si (x) -^ ?j, [x) S, (x) -^ „. -f- op {x) Sp {x),
où les Si [x) sont des séries du type (57), tandis que les fonctions Q>^, (p,, ... sont des fonctions connues, telles que logarithmes, exponentielles ordinaires, exponentielles & exposants polynômes ou à exposants séries, etc. Nous aurons bientôt Foccasiou de faire un pareil essai.
482. Dans le cas où l'équation (56) est linéaire et sans second membre, on a obtenu, depuis une trentaine d'années, d'importants résultats dont nous dirons quelques mots.
ÉQDATIONS LINÉAIRia o'OBDRE QUE
Soit
l'équation donnée ; on suppose que les coe( fonctions unirormes de la seule variable domaine et qui n'ont pas d'autres points : pôles. En un point x,, qui est ordinaire p( cients p, on peut se donner arbitrairemei intégrale etde ses m — 1 premières dérivée: rentielle fait connaître la dérivée m"™ et, [ toutes les dérivées suivantes, et l'on sait i parfaitement déterminée.
Cela posé, considérons un système de m i dantes, déterminées chacune par leurs vatt ^ ^ x^ et par celles de leurs m — t premii intégrale quelconque sera de la forme
«t elle aéra évidemment holomorptie dans i 'décrit autour de x^ comme centre, puisqu< ^it yi. ■•■ y« le sont. Comme on peut répi sonoement autour de tout point qui n'est p tes;?,, il en résulte que les intégrales d'une n'ont pas d'autres points singuliers que ceu cients,
4Sf^ Considérons par exemple l'équatio hypergéométrique ou équation de Gauss.
qui est du type précédent si on divise tous : x{i — x). Les intégrales ne peuvent ave singuliers que les points x = 0, x = 1 et l'i
512 CHAPITRE XIU
Nous poserons, pour riotégrer,
en égalant à zéro le terme du plus faible degré, nous obtenons ridentité
r(r — i) -h YT = 0 OU
d*où deux valeurs pour r
Pour obtenir les coefficients, nous aunulerons le ternie enœ'-^p^ ce qui donne la relation récurrente
on pourra ainsi calculer les coefGcients ap en fonction du premier. Soit ao = l; s\ r = 0, on trouve comme première solution une série célèbre connue sous le nom de série hypergéométrique,
a fi ^
y^ = F («, P, Y. or) = i -+- jy^ .r -I- ... J
Cette série, entière, est convergente dans le cercle de rayon un comme on le vérifie aisément, et comme on devait le prévoir d'après le n" précédent.
Si r = 1 — Y» 01^ trouve une seconde solution, en général indépendante de la première, qu'on peut écrire
yi = ^*""^ F (a - Y 4- 1, p - Y -H i, 2 — Y, a:),
le symbole F désignant, comme ci-dessus, une série hyper-
éQOATtONS LINÉAIRES
géométrique convergente dan^ tour de l'origme. L'intégrale {
484. La série y, et celle qu convergentes que dans un cert l'origine. Si la variable sort de encore résolu. Posons
réqnatioD devient en posant
c'est une équation hypergéomi!
générale, d„ et d, désignant de
rf, F {«, p, f, X) + rf, X* -r F (« -
l'équation proposée admet don
-Hrfi{l— :e)T-''-?F{y — p.
Cette solution n'est valable t d<!crit autour de la nouvelle < point «^ 1.
485. Pour trouver les solu plan situés en dehors des deux dans l'équatioD (59)
614 GHAFITBS XIU
elle devieiit
en posant
On a une nouvelle équation de Gauss qui a pour intégrale générale
/;f(«,P',t',xO » /;a/?-*F(a-yH-i,P'-Y' + l,2-Y\xl
valable si | a:' | <! 1. En revenant à la première équation, oq voit qu'elle aura pour intégrale dans la région où | ;r | est plus grand que Tunité
f.x-^Y (oc. a - Y + I, a - P -f- i, I) ]
/o ^t fi étant deux constantes arbitraires.
486« On aurait pu trouver directement l'intégrale précédente en essayant dans (59) un développement ordonné suivant les puissances descendantes de x tel que
En annulant les termes du plus haut degré, on trouve
— r (r 4- 1) H- (a -+- p -h 1) r — ap = 0
0' - a) (r — P) = 0 ; les termes en x -^-^' donnent Tidentité (r -f-^ — a) (r -h p — P) ap = (r -h p — y) 0' 4- p — 1) «,.-i-
ÉQUATIONS LINéAIttBS d'oRE
On retrouve ainsi, en faÏBant successif deux intégrales particulières
ic— ''F{«,«— ï+1,3 — p-hl.iUlai-P
-4ST. On voit qne, dans le cercle centre le point x = 1 , il y a des poio rayon un décrit autonr de l'ori^iine.
poar ces points deux formes difTérent (62) et (63). En exprimant que ces identiques pour deux points dilTérenl deux constantes aiititraires/'o et/*! e On réalisera de la même manière domaine commun des développemen premiers cercles.
488* h' intégration est mainlenani d'insister sur le nouveau sens qu'a notre recherche. Nous nous étions formes de séries, deux intégrales pa qui, substituées à ^ dans 1 équation ( quement. Or, limité à ces termes, résolu : DOS séries ne sont valable:
domaine déterminé et, pour faire cor do X la valeur la plus gi^nerale de y, trois couples de séries, de sorte que ci mais un ensemble de fonctions qui ci raie. Désormais c'est dans ce sens qu intégrer; le problème sera considéré aura fait correspondre à toute valeur la variable une fonction (ce sera génî d'ailleurs pourra avoir des formes t domaines oîi se déplacera la variai savoir passer de la forme qui convie qui convient au domaine contigu prolonger analytiquement la fonction domaine, parce que, jusqu'à présen solutions que des fonctions analytiqu
616 CHAPITRE XIU
4 80. Un problème particulièrement délicat lorsqu'on aura intégré une équation différentielle, au nouveau sens du mot, sera celui qui consiste à reconnaître si les fonctions intégrantes sont de nouvelles fonctions ou s^obtiennent par des combinaisons de fonctions connues. C'est ainsi que le plus beau titre de gloire d'Abel et de Jacobi est d'avoir découvert la double périodicité des fondions elliptiques, qui se présentent conune quotients de deux séries simplement périodiques, et d*avoir ainsi définitivement clos les recherches qui avaient pour objet de les exprimer en fonction de quantités déjà étudiées.
Le second résultat dans cet ordre d'idées est du à M. Painlevé qui a réussi à prouver que les intégrales des équations du second ordre ramenées par lui au type
constituent une catégorie nouvelle de fonctions, irréductibles par des opérations algébriques ou de différentiation aux fonctions antérieurement connues. Nous énoncerons sans démonstration le résultat auquel est arrivé ce savant géomètre : siTon pose
la fonction e< {x) vérifle Téquation du troisième ordre
elle est développable en une série de Mac-Laurin qui converge quel que soit a:, et les coefficients de cette série se calculent par des dérivations successives ; enfin Ton a
, . d^ log u u'^ — uii"
(X) — -nnj — r^ .
dx^ u^
