Revenons à l'équation de Gauss (59). Nous avons

ÉQUATIONS UNéAIREB s'oRDBE QUELCONQUE

donné deux intégrales particulières que noua avons par les notations

y, =a^-ïF(« — 7 -h 1. P — f H- 1, 2 — f, i

Dans le cas où Y est un nombre entier, on n'a intégrales ; la première devient illusoire si y est négatif, et la deuxième si t est un entier positif. Ë par exemple que ï soit un entier négatif — n, Tin subsiste : pour en trouver une seconde, nous essa développement de la forme

a, »' -t- o, a^ + ' M- ... +ai,x'+>'-h ... + (i,jr H-*,a:'+» + ... -1- é^l'- + »' -t- ...) log a

Le terme du plui faible degré qui contienne loff x sera celui en j?— ' log x ; en l'annulant, on trouve

ce qui donne deux valeurs pour r. Soit r = 0. Le a^~» donne alors 6, = 0. En annulant ensuite les «M j- et en a:' + 1" log x, on trouve les deux égalités

(P + 0 (p -H Y)o. + , -(P +«) Cp -I- P) a, H- (2p -h 1 -h y) A,^ , - ;2;ï - » - P) 6, = (

La première égalité montre que les coefQcients nnls, tant que p n'aura pas atteint la valeur n = — f. la deuxième égalité se réduit à

et l'on peut se donner a„ arbitrairement.

Pour les valeurs de p supérieures à n, les égalit (66) feront connaître les coefficients 6^ + , et a^ + , en des précédents. Tous les coefficients des deux séri donc déterminés en fonction de a^ et de «n qui rest

6l<i CHAPITRE Xlll

traires. A partir da rang yi, les coefficients de la série multipliée par log x suivent la même loi que ceux de la série hypergéomélrique, et, par conséquent, cette série est convergente dans le cercle de rayoa un, Uautre série l'est aussi dans le même cercle ; mais nous n*insisterons pas sur cette propriété qui résulte du théorème de 31. Fuchs dont nous allons biealôt donner l'énoncé.

401. Donnons d^abord une déGnilion. Supposons qu'une équation différentielle admette une intégrale de la forme

S^ ( >*) -H S, x) log X H- S, (,u) log- a? -r ... H- S„ (ar' log" x^ (67)

dans laquelle S^ [^), S» {x) .... représentent des séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable et limitées du côté des puissances négatives : FiBlégrale sera dite régulière.

402* Cela posé, voici le théorème de Fuchs : Pour que [équation

ait toutes ses intégrales régulières j il faut et il suffit que les fonctions de x représentées par les coefficients Aj, A, .., n aient pas de pôles dont le degré de multiplicité soit supérieur à leur indice.

Supposons la condition remplie : on posera, pour les points voisins de l'origine,

y^za^x"- -h ai.r^ + * -4- a^x""-^^ -f-

La ou les valeurs de r s'obtiendront en égalant à zéro le^ termes du plus faible degré ; on obtiendra ainsi une équatioa qu'on appelle Téquation déterminante. Si cette équation a toutes ses racines distinctes et ne différant pas entre elles par

ÉQUATIONS LInAaIRES It'oRDBE QUELCONQUE

des nombres entiers, la solution sera assurée par àt de Haclaurin ou de Taylor, mulliplîées par une p positive, négative ou nulle de x. Si l'on peut associer n, de manière que la différence de deux quelconques d'es soit zéro on un nombre entier, il faudra essayer des < pements de la forme (67). Il pourra arriver que, dans I qQelques-uns des termes logarithmiques disparaissen quement.

493. Il n'est pas inutile de montrer par un exeropl méthode d'intégration par les séries peut devenir lorsque les conditions de Fuchs ne sont pas remplit réquation

substituons

y = a^ + aiX-i- .... + a^x"" -+- ... .

On trouve immédiatement la relation récurrente

{mi + 1) a a™+ , h- [B -h vi (m — 1)] a„ = 0,

qui permet de calculer tous les coefllcients a„ en ton premier ; mais la série obtenue est divergente pour U valeurs de x, car le rapport de deux termes consécuti

««fi B H-»t(nï — i)

am (m + 1)A

devient innni pour m ^ œ ; quel que soit x.

494. La série bypergeométrique intervient dans u nombre de problèmes. Tout d'abord, on ramène aisén un cbangement de variables, à la forme sous laque avoDS étudié son équation diiTérentielle toute équi type

620 CHAPITRE XIll

405* Nous terminerons ce chapitre par quelques exemples empruntés pour la plupart aux applications industrielles modernes de la Physique ou de la Mécanique. Le premier exemple se rapporte aux équations linéaires à coefQcieats constants.

Soient ^ et — q les quantités d'électricité dont sont chargées les deux armatures d'un condensateur, R la résistance du fil conducteur par lequel on réunit les deux armatures, C la capacité du condensateur (on néglige celle du 61), L la self-induction du circuit.

L*intensité du courant de décharge est donnée par la formule

dt et l'on a, en vertu de la loi de Ohm,

c di

d'où l'équation diiïérentielle linéaire à coefficients constants

Ici deux cas sont à distinguer.

l** L'équation résolvante

La*-+-Ra-t-- = 0

a ses racines a^ et a, réelles. LHntégrale générale est alors

Al et As étant des constantes arbitraires. Comme a^ et a, sont négatives, la quantité d'électricité diminue d'une manière continue avec le temps.

2^ Les racines de l'équation résolvante sont imaginaires, soient — p -h 7e et — p -h y^ ^^ ^^ra alors, en désignant par Bi, B2, deux nouvelles constantes.

q = e""P^ (Bi cos ^t + Bj sin yf).

ÉQUATIONS LINÉAIRES d' ORDRE QUI

La décharge se compose d'oscillations { Tîode

406. Voici deux exemples oii l'équation un peu plus ditficilement. Le premier i par H. Jean Résal, le savant constnicteur d et Alexandre,

pour l'iatégrer, nous poserons

A*p* , . -KX

a{a~.t)-i-m = 0, elenno Nous serons ainsi ramenés à la forme

qui s'intègre par la série hypergéométriqu de le voir.

La deuxième équation a été rencontrée p

Si t'oQ pose

OQ retrouve l'équation de Gauss, qui adme cn]iëre

^22 CHAPITRE Xlll

497. CoDskléroas encore uoe plaque circulaire encasb'e sur son pourtour et soumise à raction d'une force nonnale passant par son centre.

On démontre dans les traités 4e Résistance des nuUériaux que la plaque prend la forme d'une surface de révolution dont la méridienne a pour équation

dx^ ~^ "^ dx

? étant Tangle de la normale à la surface avec Taxe en m point dont la distance au centre estjr.

L*équation pri^cédente, sans le second membre, peut se ramener à Téquation de Gauss (n^ 494) ; ou peut4ussi employer 4a méthode du n® 4G3 ; mais il est aussi simple de Tétudier directement.

L*équation déterminante relative à l'équation sans second membre est

ses deux racines — 1 et h- 1 ayant pour différence un nombre •entier, il y aura lieu d'introduire un logarithme. On trouve alors aisément que Tintégrale de l'équation avec second membre est