c. XÏOg X -\- BX -H
Pour déterminer les constantes arbitraires, on. fera j? =:<^tt ^ = r, ce qui donne
G = 0 , B = 2 log r.
108. Nous donnerons encore quelques exemples d'intégration, non plus parla série hypergéométrique, mais par une série quelconque, pour bien faire ressortir Pintérct que celte méthode présente pour les ingénieurs.
400. Une banquise de glace circulaire chargée, en son milieu, pread la forme d'une surface de révolution dontlaméri-
EQUATIONS LI^fKAlUBS S OHDRE QUËLCONC
dienna a pour équaLioa (Herlz, Gesammeltfl We page 228).
rf^ , 2 rfV l d^ ^ i du ,
Les conditions de Fuchs sont remplies et l'équa mate est ici
Elle a àeux racines nulles, et deux racines éga intégrer l'équation (68), il faudra alors essayer u ment de la forme
a^ + ai X -i- a^ j;* M- ... -)-(&, -h 6, a; -h ... + {c, X* + Cj a;' + ...] log- x + (rf, x* H- ...]
En ^lant k zéro les termes en
x>-~*, X' — Mogx, «f-* log'jî, a;''—*
ea aura quatre relations entre Op, bp, c^, d^ et le: précédente, ce qui permettra de calculer tous le de proche en proche. Noos ne développerons pat Dous nous bornerons à indiquer que les coefficii «t bf demeurent arbitraires. On a donc bien l'in quatre constantes arbitraires.
500. Nous indiquerons encore, h. litre d'exercl suivante qui se rencontre dans un grand nombre de Mécanique
Les conditions de Fuchs sont encore remplies grales sont régulières. On pourra donc appliquai d'intégration par les séries; seulement cet exempl
624 CHAPITRE Xm
téressant que les séries se laissent sommer et que finalement l'on trouve pour intégrale générale
y = -^ (sîn nx — no? cos nx] -+• -5 (ces nx -h nx sîq na?),
a elb étant les deux constantes arbitraires.
50 !• Une équation très voisine de la précédente a été rencontrée par M. Blondlot ; la force électrique z en un point de son excitateur situé à une distance p de Taxe de symétrie des plateaux est donnée par Téquation
^.-^p^ + Tr' = 0 (69)
OÙ X est une longueur d'onde.
509« Au lieu de Tintégrer, nous considérerons Téquation
d^y , 2ndy , ^
dx' • X dx
qui comprend les deux précédents j pour avoir Téquation {0],
onferam = -^ |.
L'équation déterminante sera
ce qui donne deux solutions
r = 0 et r = l— 2n;
il y a donc une intégrale holomorphe
. En substituant on voit qu'elle ne doit contenir que des
EQUATIONS UKÉA.1RB3 d'oRDRE QDELCONQUE
termes de degré pair et que les coefficients seront rclté relation
Au Heu de refaire le calcul pour r= I — 2n, noi bornerons à faire observer que la substitution
conduit à l'équation
qui ne diffère de l'équation proposée (70) que par le de n en 1 — n ; elle admet donc unie intégrale holom en revenant à l'équation (10), on trouve une douvi grale
y, = a:'"~'"(6, + bfX* -H ...)
avec la relation de récurrence
Finalement l'équation proposée admettra l'iatégrs raie
^ ^3^2^ "^ 2. i(^ ^In) (^ - iii
503. Si les deux racines de l'équation détermin égales ou ne diffèrent entre elles que par un nombre faudraîntroduire un logarithme. Supposons, par exei i — 2n8oitun entier négatif pair — 2m; y, devient Pour trouver une deuxième intégrale, on pourra Caudl unutrfaiiuL
626 CHAPITRE Xl!l
nous l'avons fait jusqu'à présent, procéder par là méthode des coefficients indéterminés. On pourra aussi, connaissant une intégrale, ramener (n° 473) Fintégration à celle d'une équation linéaire et du premier ordre^ intégration qu'on sait effectuer. Nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter les calculs. Nou* préférons indiquer une forme intéressante qu'on peut donner à l'intégrale générale.
504. A vrai dire, les considérations dans lesquelles nons allons entrer se rencontrent dans beaucoup de cas et il y aurait lieu de mettre en lumière la méthode ^intégration au moyen d'intégrales définies f mais nous serions obligés d'entrer dans de longues explications pour lesquelles nous renverroos aux traités spéciaux auxquels nous nous sommes déjà référés et nous nous en tiendrons au* cas particulier de l'équation (70).
Nous avons vu que le terme général de l'intégrale particulière ?/j est
