L'équation de

s'intègre aussi par ief

628 CHAPITRE Xlll

forme, des équations précédentes sans, pour cela, qu*on paisse les ramener les unes aux autres. Faisons en effet le changement de variables

nous obtiendrons l'équation

Pour déduire de cette dernière équation Téquatlon (70)^ il faudrait faire soit p = 0, soit y = 0, ce qui est évidemment in lerdit.

Il faut donc étudier directement l'équation de Bessel. A cet effet nous poserons «ncore d'abord

ce qui donne l'équation déterminante

puis

Les termes de rangs impairs sont nuls, et pour les autres on a la relation récurrente

Ojj

On voit alors sans peine, en faisant successivement r = n et r = — n, que l'intégrale générale peut se mettre sous la forme

dans cette expression a et 6 sont deux constantes arbitraires et Ton a

, c-, (-■Kl)""

J--n se déduit de in par le changement de n en — n.

ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUEL

SOT. Si n est entier, ces deux intégrales i pendantes et l'on a

Pour trouver une seconde intégrale, il fi logarithme et appliquer de nouveau la méthot indéterminés. On peut encore (voir Jordan, ti la limite pour t = C de

i-irj. + .-',-..

OD trouve ainsi l'intégrale particulière

-l^^liî)"

508. Vu l'importance du sujet, nous trail dernier exemple que nous devons à l'obligei Résal.

Fie. i6 F

Considérons deux poutres métalliques 0 j"

ë30 CHAPITRB Xlll

triques par rapport à l'horizontale OM, et constituant à elles deux une console encastrée suivant la verticale A B ei libre en 0.

Les poutres 0 A et 0 B sont reliées par des tiges verticales que nous supposerons, pour la mise en équation, infiniment minces et înGniment rapprochées. L'équation de O A est

On suppose A B invariable ; au contraire, les autres tiges verticales subissent,' par Teffet des changements de température, des allongements ou des raccourcissements contrariés par la tixité de A B. Il s'agit d'évaluer l'effort qui résulte pour chaque tige de Timmobilité de À B. M. R(5sal ramène le problème à ceci : si l'on donne à la distance A B une nouvelle valear A' B', C D devient C D', et C C est le déplacement élastique du point C.

Soit

le travail d'extension est — . Il en résulte une réaction exercée

par la tige verticale sur la poutre 0 A proportionnelle au travail; on sait, d'autre part, par la théorie de l'Elasticité, que

cette réaction est proportionnelle à t^. On aura donc enfin, en désignant par k une constante positive, l'équation

-C'est cette «équation, ou plutôt Téquation plus générale

dm + n^

dûO"' + '*

= — A zx- "», . (T5;

que nous nous proposons d'intégrer ; m et n sont des entiers positifs donnés.

Posons z = œ^ \ l'équation déterminante sera

EQUATIONS UNKAIRBS D ORDRE QUELCONQUE

Elle admet m -h n racines 0, I, 2 ... m ,+ h — 1 ; coi racines diffèrent entre elles par des nombres entierf être nécessaire, en vertu du théorème de Fucbs, d'il des logarithmes. Nous commenceroos cependant par s'il n'exrste pas d'intégrales hoLomorphes de la forme

En substituant celte valeurde = dans l'équation (75) lant le terme en x'' + '-"'-'', on obtient la relation

■ !J) -H J- — )tt — » -t- 1) a^ = — A Bj,n î

qui fera connaître les coefBcîents de n en ». Soitp = solution ne donnera a™ que si r est supérieur km — 1 . d'abord r = n» ; la relation (77) devient

__ , ùp-n

"'' "~ (m -i- p)(m -i~ p -~ \] .■■ (jp — n -i- y

«n en déduit

a^n = (— 1) **(ot -h n) ! [m H- 2n)i ... (m V kn)

le coefficient a^ restant arbitraire. On aura de raè toutes les valeurs entières de h inférieures à n

La «îrie (76) est donc déterminée en fonction de£ cientstid, a„ .-.. a,-, qui demeurent arbitraires; onpe dire, -si l'on veut, qu'on aura n intégrales holomorp pendantes

632 CHAPITRB XIU

et les séries qui figurent dans les seconds membres sont absolument convergentes pour toute valeur de x ; elles convergent même très rapidement puisque le rapport d'un terme précédent tend vers zéro d'après la formule (77) pour p = oo .

500« Il reste à trouver m intégrales particulières indépendantes des précédentes. Pour cela, nous supposerons d'abord m < n et nous essaierons des développements contenant un logarithme ; soit par exemple, pour se borner à la racine r = f) de réquation déterminante

^ = u -i- t? log ar, en posant

u = a^ -h «i J!ï -I- ûj a?* -H ...

En appliquant la formule de Leibnitz relative à la dérivée d'un produit^ nous aurons

M^'^d^^'^^^'^d^'^^x Sx^^ "^ -

/r(/< — !)...(/< — ;^ -4- l)(—iy-* (A—!)! rf*-*!? ) (70 A! x^ d:d"-^

Tous les termes qui suivent, dans cette formule, le terme en log x seront des séries commençant par un terme du même degré en x, savoir un terme en a?^ - * ne contenant que b, comme

coefficient b. Faisons A = m 4- n, et remplaçons z et ^^^n

par leurs valeurs dans l'équation (75). En égalant à zéro les termes algébriques du plus faible degré, on voit d'abord qu'il faut prendre

de plus le terme du plus faible degré qui multiplie log x, dans — kz X-"', étant — A2>n^""*"> pour qu'il puisse cHre dédroil