l)< f e-'dx

en remarquant, pour écrire la dernière inégalité, que C est toujours inférieur à un.

On aura de même, pour x compris entre 1 et œ ,

0 < / e- 'Vr < 1 e- '^xdx

e-^'dx<l. (12)

Donc finalement on aura^ en ajoutant les inégalités (11) et (12) membre à membre,

La valeur exacte de I est -^- , comme on le verra dans le second chapitre.

20. Le tliéorëme, énoncé au début du n^ 18, impose à f[x) la condition d'avoir zéro pour limite lorsque x devient infinie. Mais cette condition n'est nullement nécessaire et f{x) peut être indéterminée. Nous en verrons des exemples dans le chapitre suivant.

. DBS INTÉGRALES INDEFINIES 17

*1. II importe de vérifier que les propriétés établies aux n^^ 3 et suivants pour les intégrales ordinaires subsistent avec l'extension que nous avons donnée à ce mot.

Supposons d'abord que, pour a? = c, f[x) devienne infinie^ mais que la fonction primitive ^{x) reste finie et continue. On a par définition

h /-ïC — £ ^J}

Ix = lim I Ê = o /

f{x)dx = lim I f{x)dœ -f- Hm / f{x)flï^

= lim <p(c — e) — o(a) 4- lim 1 <p(ô) — ç>(c4-e') 1

Même démonstration pour les formules des n®^ 4, 5, 6 et 7,

8*. Il résulte des n°» précédents que le calcul des intégrales définies se trouve singulièrement simplifié lorsqu'on connaît Tintégrale indéfinie. C'est à la recherche de cette dernière intégrale que sera consacrée la fin du chapitre.

Intégration par parties

*3. Cette première méthode d'intégration est fondée sur la formule

d.uv = xidi) -i- uû^w,

qu'on peut écrire

udv = d.uv — vdu.

ou, en intégrant,

j udv = uv — I

vdu, (13)

CVLCUL IHFI9ITBSIMAL

Si rintégrale / vdu rentre dans celles qui viennent d'être établies (ou qui s'en déduisent imnoiédiatement), la formule (13) fera connaître j udv.

1^4. Par exemple, soit

u = arc sin a? dv = dxy

la formule (13) donne

/ . . / ^dx

I arc sin x dx = x arc sin a? — 1 "/r^^^

rc sin x -^ j d.

X arc sin a? -h / d, ^[ — x-

= X arc sin x h- y/l — x' De même soit :

w = L o:, dv = dx ;

Loèdx = .cçLo? — / .V -^ = xLx — x^

On aura de môme

of^^Lxdx

'i^m -f 1 / -y, ni

-■= — r hx — / — * — i dv

Considérons encore l'intégrale

f (.r sin X

ces 5?)^

^■Vi^

que nous écrirons, en multipliant et divisant par la dérivée de la parenthèse, x ces x.

X X cos X dx

cos X (x sin X -f- cos a?)* '

On peut alor^ appliquer la formule (13) en posant

cos x^ X sin X + cos x^

ce qui donne

X cos X dx X 1 i dx

X {x sin X -h cos a?)* cos x x sin x -+- cos x I co^^x

cos X »r sm x h- cos a?

sin X — X cos X

jp sin 07 -H cos x'

On verrait de même que

x^dx X sm x -\- cos x

tang 0?

(sin X — X cos xY sih a? — a? cos .o'

^5. La méthode précédente peut être appliquée plusieurs fois de suite.

Soit par exemple P(ar) ou simplement P un polynôme de degré n; soient P', V\ ses dérivées successives par rapport à X. Comme e'^'^dx est une différentielle exacte, on aura successivement

Pe-'<£j^ = — P^-' -f-

Fe-'rfa:= — Fe-'4- / ?"e-^dx

')e''di:c

PWfl-^da; = — P(")«-'

, en ajoutant toutes ces égalités membre à membre et Ht

V{x) = — [p + FH-Pf -h pt— ') -i- PC)],

/ Pe-'dx = F(x]e-'. (ii)

(■ L'exemple précédent a pu être poussé jusqu'au bout 3 qu'un des deux facteurs du produit s'est trouvé être une ée n'"° exacte. I! en sera de même dans lous les cas anaîs et nous pouvons écrire la formule^ obtenue en applît p fois la formule (13),

/ UuWrfl^MU*"-') — «'«("-^l + M'uf"-») I

, pour une valeur de p, la dernière intégration peut être tuée, il en résultera la valeur du premier membre de litti (13) sous forme unie.

r. Il est clair qu'une différentielle étant donnée, il se pré* : une infinité de manières de la décomposer en un produit iux facteurs. L'babileté du calculateur consiste précisédans le cboix du mode de décomposition qui fera réussir ftbode d'intégration par parties. On en a vu, au n" 2i, un iple intéressant.

DBS INTEGRALES INDËFINIBS ^

£q voici un autre qui nous conduira à une formule très usuelle. Soit à intégrer

T,„ = / siQ^'^xdx,

Nous écrirons

I,„ = / sin"» - ^x, sin ccdx ;

ce qui donne^ en intégrant par parties^

I,„ = — sin"»- *a? cos a? -f- (m — i) / sin'"~ ^x cos*a?rfa? (16)

Remarquons maintenant que cos*^ =1 — sin*j? ; la dernière intégrale s'écrira

sin^^œdx

siQ'""'a?(i — sin*x)dx = / sin"*'^xdx — /si

La formule (16) deviendra donc

nt\m = — sin'» •* *a? ces a? -h (m — 1) Im- j (^'7)

C'est une formule de réduction et, si m est un nombre entier, on est sur, en l'appliquant plusieurs fois, do ramener le problème à l'intégration de Ij ou de lo, qu'on sait efTectuer puisque

1^=: I dx= X,

CIIAPITBB I

n obtiendrait «évidemment de même

is le cours leux par la

1 (w + v)dx ^= j udx -i- I tu

■.S. Nous avons, dans le cours du calcul précédent, décomé une intégrole en deux par la simple formule

i signalée au n" 7, Le procédé est trop évident pour être ;é en méthode ; il importait cependant de le signaler. )'ailleurs il est d'un usage constant, et, combiné avec litres méthodes, il permet souvent d'obtenir des intégrales spect compliqué. Nous en donnerons un dernier exemple. t à intégrer

I, S'ous écrirons

i / tt^ -i- .■>r' — î*. 1 , 1 / .-K^dx ,,„,

= ?/ -K^FVr-'-=;.i"-.-a;J (j.-^^ïr ('»)

*{ous appliquerons la méthode d'intégration par parties à la -nîère intégrale, mise d'abord .sous la forme

qui donne I ) /' I I .

DES 1NTBGRAJ.es INDEFINIES ^3

€l finalement, en revenant à Téquation (18),

C'est une nouvelle formule de récurrence dont l'application répétée conduira évidemment au résultat lorsque m sera entier.

Dans le cas particulier où m = 2 et a = 1 on a

la formule (19) est illusoire lorsque m est égal àTunité.

Intégration par substitution

20. Une autre méthode consiste à changer de variable. En d*autres termes, dans l'intégrale i f{x)dx^ on pose

X = cp(/)

d'où

dx = <^'{t)dt,

et l'on considère la nouvelle intégrale

^{t)i{i)di.

^(i) désignant ce qu'est devenue /(.r) lorsqu'on y a remplacé X par ^[t). Cette dernière intégrale peut être facile à calculer dans des cas où la première ne l'est pas.