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ÉQUATIONS LINÉAIRES d'oRDRE QUELCONQUE 633
par un terme provenant de ^^,^^^, terme dont l'exposant sera certainement positif ou nul^ il faut
ce que nous avons supposé. Le premier terme de ^j^rfii ^^^ (m -hn)I bfn^n] donc
de même
A partir de Findice 2n, l'annulation des termes en {cp-^"'^ log X fournira la relation
p(p — 1) ... (/? — m — n -H 1) 6p = — khp^
et Ton pourra ainsi calculer chaque coeffîcient b^ en fonction de celui qui le précède de n rangs. Ensuite en annulant les termes en a?J'-'" - «, on obtiendra la relation
p (p— 1) ... (p — m — n -4- 1) [ap -+- ( - -i- ^^^ ^- ...
p — m — nH-l/'^J ^
qui donnera les coefficients a en fonction de ceux qui les précèdent de n rangs et des b. Pour toute valeur pi dep inférieure à m + n, le premier membre de cette relation ne contiendra qu'un terme, celui qui correspond au dénominateur p — p,. On aura ainsi &„, ôn + i» ••• ^n + m-tOn fonction de a^, ai, ... a„, qui demeurent arbitraires. Les n égalités suivantes, celles qu'on obtient en donnant à p les valeurs m+n.m + n+l»... mn-i 2n — 1, déterminent a,„ ^ „, 0^ + 11 + n ••• «w-fjn-i en fonction des coefBcients amt a^^i, ... am + n-i qui sont encore arbitraires. On a donc l'intégrale générale avec m-^ n coefficients arbitraires. On retrouverait les n intégrales holomorphes du n* précédent en donnant à a,, a^, ... «,„, la valeur zéro ; les logarithmes disparaîtraient.
X):j; CHAPITRE Xlll
510* H <^st essentiel de remarquer, au point de vue du problème posé par M. Résal, que les intégrales qui contiennent des termes logarithmiques sont inutilisables; car il résulte des
conditions du problème que -;;; ne doit pas être infinie pour
511* Dans l'étude que nous venons défaire, nous avoQs supposé m << n. S'il en était autrement, ce serait le câs d'essayer des développements tels que
u -h V log X -k-to log* X H- ...
u, v, u\ ... étant des séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de x, et l'on prendrait q -\- \ termes logarithmiques, q désignant le quotient de la division de m parn. Mais nous ne nous étendrons pas davantage sur cet exemple, ces considérations n'offrant plus d'intérùt pratique immédiat.
^19>. Retour à V équation de Riccati. — Nous avons dit (n° 476) que l'équation de Riccati se transforme dans la suivante
^^ = bcx^-z (80)
qui est linéaire et qui satisfait évidemment aux conditions de Fuchs. Elle s'intègre donc par les séries ; mais on peut aller plus loin. Posons encore
nous obtenons l'équation
d^s m { dz ia b ^
qui a été intégrée au n® 502.
513. II est bon de remarquer que l'intégrale générale de l'équation (80) étant de la forme
z — i>j Zi — t— L«| Sgf
KQUATIONS LINEAIBBS D ORDBB QUBLCONQI
«I résulte de la formule de transformai ioa du D° 471 tîon de Riccati aura une intégrale générale ^u ty
u, V, u„ », étant connues. La manière dont figure arbitraire C est caractéristique ; en l'éliminant, on -efîet sur une équation de Riccati,
514. Dans les exemples que nous avons tn présent, les coefficients ont toujours été des fonc nelles ou trigonomélriques de la variable. La méû et le théorème de Fuchs ont une portée plus s'appliquent dans tous les cas où les coefficients tiques. Pour donner au moios un exemple plu: nom étudierons \ Equation de Lamé qui s'intèg j>ar les fonctions elliptiques.
En fait, Lamé (XYIII""" Leçon sur les surfaces a intégré l'équation
-et il a précisément employé la méthode d'Inlégr séries. Si Ton pose
on obtient, en changeantlégèrement le nom des c forme
^i — [A'm(m+ l)sn'j;H-A]y=0
636 CHAPITRS XIII
sooâ laquelle Hermite a étudié cette équation. Nous introduirons de préférence la fonction pu^ en posant
'^ * sn*x
où
En utilisant les formules (2o) et (79) du chapitre X et faisant encore
U -i- Wj = ;r,
on donne facilement à l'équation de Lamé la forme
h étant une constante dilTérente de celle désignée précédemment par la même lettre ; m est un entier.
Le coefficient de y a une infinité de pôles doubles compris dans la formule
Les conditions de Fuchs sont remplies ; nous allons chercher le développement des intégrales dans le voisinage de Torigine. Pour avoir l'équation déterminante, faisons d'abord
nous avons, en remarquant que/'w = — -h ..., la condition
d'où
et
Il y a donc une intégrale holomorphe y^ et une intégrale Vi
ÉQUATIONS UNÉAIRSS d'oRDRE QVELCONQDB €37
qui a àrorigine un pôle d'ordre m, propriété qui sera conservée dans l'iatégrale générale
Mais si l'on change « en y + 2tD[ ou z -+- 2w^ dans toi grale ? (s), on obtient une nouvelle intégrale, puii changement n'altère pas l'équation : d'autre part, cet grale est de la forme C, y, -+■ C, y,. On déduit de là, ai mais par des considérations qu'il serait superflu de dé\ ici, qu'il existe au moins une intégrale <!' (>) jouiss deux propriétés suivantes :
Hermite a appelé de pareilles fonctions fonctions ell de deuxième espèce et a donné le moyen de les former, pose
X et ^ étant deux constantes qu'il faudra déterminer conditions
2Xu), -I- 2[xii, = log », 2>.t«,-i-2|x^, = logj,.
f{t) sera une fonction elliptique.
Cherchons l'intégrale ^ (z) de l'équation (82) dans \t m = 1. On a alors à intégrer Téquation
Posons
038 GHAPITBB XIU
Ici rori^LQe est un pèle d'ordre 1, donc f{^)^ quine poarrait avoir au plus que le pôle ^ = — h, est une coDstante. Or ou a
e^"' = 1 -H Xz -h -^ -h ...
CI (^ -h Ia) = îJ :i -H ^ ff' fJi 4- ~- j" !X -t- .•.
par conséquent
ûf, 6, c, rf, ayant des valeurs faciles à calculer.
En substituant dans le premier membre de Téquation (83), on aura
Egalons à zéro les termes en —, et - ; il vient
Aa 4- c = 0 ou en mettant à la place de a, 6, c leurs valeur»
X a jx -h ff'fi = 0
^ cifi -h X* jfji -h 2X (/[ji + (/ji = 0 On en tire >^ et ^ : d'abord Téquation en v- se réduit à
et donne pour hi deur valeurs égales et de sign^ coatraires Ki et — f^i- Ensuite on a
d'où enfin l'intégrale générale
EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULT
515. On entend par système d'équations difft simultanées le système formé par n relations entre un indépendante l, n fonctions x, y, ...v de celte vi leurs diîrivées des divers ordres.
De tels systèmes se rencontrent souvent en Physiq mathique, en Mécanique, dans la Théorie des vibra Par exemple, dans l'élude des mouvements planétaii conduit k des équations où figurent à la fois le tet coordonnées des points mobiles et les dérivées de ces nées par rapport à t. Le problème consiste alors à ti équations les valeurs des coordonnées en fonction manière à obtenir, par l'élimination de celte les «équations des trajectoires des points mobiles, a La i( (^b&Wo'a AqXb. Philosophie Naturelle se trouve ains « à l'intégration d'un système d'équations dif[( € simultanées » (*).
(') CooiiHOT. — Théorie de» towliont a* 302.
640 CHAPITBE XIV
Réduction d*uii système A une éqaatfon dilTérentlelIe unique
510« Considérons d*abord le cas oix n = 2; le syslème sera alors formé par les deux équations
j, /, dx d'^x^ di/ di'y\ . ,,,
A ['' '"' ^' - ir^' y' dt' - d§-) = 0 (»)
En différentiant r fois Téquation (1) et m fois Téquatioa (2), on obtiendra m -h r -h 2 relations, entre lesquelles on pourra
déterminer les w -*- r — l quantités x, -jr, ... ..^-^^ - ^
résultat de cette élimination sera une équation difTéreotieile entre la variable t et la fonction y, dont Tordre sera généralement égal au plus grand des deux nombres m + p, 9* + <> i' sera moindre, lorsque pour faire Télimination on n'aura pas employé toutes les m + r + 2 équations. Prenons comme exemple le système
que l'on rencontre dans la théorie du Pen^fu/e^/eFou^rau// et où a, b sont des constantes données.
Désignons par (3) et (4), puis par (5) et (6) les relations qu'on obtient en différentiant deux fois de suite d'abord (l')t puis (2').
En portant dans (5) les valeurs de dt et de ^ jf tirées respectivement de (T) et de (4) on trouve, pour déterminer ar, Féquation différentielle linéaire
ÉQUATIONS DIFFKRENTIBLLKS SIMULTANEES 641
qui est du quatrième ordre sans second membre et à coefficients constants.
œ étant obtenue par Tintégration de cette équation, on aura
y par l'équation (2') dans laquelle on aura remplacé ~-^ tiré de la relation (3).
517. La méthode que nous venons d'indiquer ramène Tintégration du système formé par (1) et (2) à Tintc^gration d'une seule équation différentielle entre la variable indépendante/ et une seule fonction inconnue de cette variable.
Ce procédé, par élimination^ s*applique au cas général d'un système défini comme au n^ 515.
On éliminera d*abord x entre les n équations du système, ce qui donnera n — 1 équations entre les n — 1 inconnues y, z, ... v. Puis^ on éliminera y entre les n — 1 équations, et ainsi de suite. On parviendra de la sorte à une seule équation différentielle ne renfermant plus, outre la variable indépendante i, qu'une seule inconnue v.
Réduclion A la forme Canonique
518. Considérons d'abord une équation différentielle d'ordre quelconque entre la variable indépendante t et une fonction x de cette variable
Posons
nous obtiendrons de cette manière le système
dx , dxf ^ dx'**—* ^,„,— 1^
F fl, X. a/, af ... aK'"^'), --Ç^*) Calcvl uFimiisiiiAL • 41
042 CHAPITRB XIY
dans lequel n'interviennent, outre les fonctions x, si, x\ ... xi"" "*0, que leurs dérivées premières.
Ainsi, on peut substituer à une équation différeQlieUe d'ordre quelconque (3) un système (4) d'équations différealielles du premier ordre, en introduisant des fonctions inconnues nouvelles.
510. De même, le système formé par les équations (1; et et (2) [dans lesquelles nous supposerons, pour Gxer les idées, w > «• et s > fx] peut être remplacé par le suivant
dx , dx' , dx('"—') , , ,,
dt ""'^' dt ^ ' dt ~'J
/il*» '^'j -^J > ••• f ^^ ''• ••• y, y j ••• — ~T7 — I —
qui est du premier ordre.
Plus généralement, soit un système d'équations simultanées quelconque c'est-à-dire tel qu'on Ta défini au n" 315. En représentant par une lettre chacune des dérivées excepté celles dont Tordre est le plus élevé, on obtiendra un système d'éqaatioos simultanées du premier ordre équivalent au système proposé.
