Cela posé, soit
/ dx di£ dj)\ ^
"^i^h^f c/r ■^' dr '" ^'' dt) ~"
VK // ^ d'^ dy dv\ r.
un système de 7i équations diflérentielles, entre la variable indépendante /, n fonctions x, y, ... t; de celte variable et leurs
dérivées du premier ordre ;^> jt, ... -/t-
dt' dt' ••• dt
ÉQUATIONS DIFféRBNTlELLES flimTLl
On peut toujours, au moins théoriqueu -système résolu par rapport aux dérivées ; ce
- = 9, ((, ^,if, ... v)
(Il (/x (II/ do
les dénominateurs étant des fonctions de /, que le système a la forme canonique lorsqu fotnae (6) ou {(>').
La rt-duction à la forme canonique n'a pa portance au point de vue pratique ; mais théorie, pour gîoiplilier les énoncés et les d
Sj'slènie inlégrni
S21. Considérons maintenant le aystèi supposons que les fonctions o,, if,, ...^aSoien les variables restent comprises entre Désignons en outre par t„, œ„, y^, ... r, des q mais aussi comprises respectivement entre le // existe alors un syst''me unique de foncti
X = ^,if- 'û---^.. i/o. ■■■"o)
jouissant de la double propriété de salis/ (Cl) et de prendre respectivement les valeur
eii CBAPITRE XIV
La première démonstration rigoareuse de ce théorème fondamental est dae à Caacby : nous renverrons ponr cette démonst ration an Cours d'analyse de Jordan.
Le >y§tème 7) a reçu le nom de système intégral da s\^tème ^6).
S22. Supposons que, par une voie quelconque, on ait trouvé, entre les w -f- i variables /, x, y, ... r, et n constantes arbitraires c,, c, ... c„ n relations
F,f/. j\ i/j ... r, r,. Cj ... Cn) = 0 * j •» JL, y, ... r, C|, Cj a.. Cjf) = u .
d*où Ton puisse tirer des valeurs de x, y, ... t; satisfaisant aux équations • 0 . Comme le système intégral des équations (6) est unique, le système (8 ne dilTèrera pas de ce système intégral pourvu qu'on puisse attribuer aux constantes Ci, c^ ... c» de> valeurs telles que x, y^ .., v se réduisent respectivement à jr,.
yo, . . ^0 pour < = /o.
Cette dernière condition sera évidemment remplie, si, en résolvant les équations (8) par rapport aux constantes, on obtient des relations
Cl = 0, (^ X, y, ... t?) j c„ = ©„(/, a?, y, ... t') y
dont les seconds membres soient des fonctions bien déterminées et distinctes de /, x, y^ ... t;. Sous cette forme particulière, le système intégral se compose de n équations dont chacune ne renferme qu'une seule constante arbitraire; et Ton dit, de chacune de ces équations, qu'elle est une intégrale du système (6).
