ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Quelques exemples d'inlégral
S20. D'après le numéro précéden c'est trouver n fonctions de « -f- 1 var que chacune de ces fonctions reste varier l, x, y, ... v de façon que lei ffy, ... dv soient proportionnelles ù T, X, Y, ... V des mi>mes variables.
Le problème étant ainsi posé, on \ miner chacune des intégrales géparén ta^c ; mais il n'existe aucune méthode ces intégrales, et on ne peut donner indications très simples qui vont numéros suivants.
S24. Si, en prenant deux des ra^ les facteurs communs, on a une égali
(lv du
u et V désignant deux quelconques d la relation
/dv C du
sera une intégrale du système (6).
Cette intégrale étant connue, on po rapport à u ou à v/ éliminer u ou v simplifier ainsi la recherche des autre
Exemple :
dx dji rfi
( ~ p:ij~x
64G CHAPiTRB XIV
Le premier et le dernier rapports donnent xdx = tdt i(jL x' — /' = a, qui est une première intégrale. Les deux demiers
rapports donnent -~ = rff d'oùlogy = /-hlogaiOUaj=c -j:'
qui est la seconde intégrale.
Autre exemple :
dx </y dz du dv
M* !?* xyzv xyzu xsuv xyuv'
Le troisième et le dernier rapports donnent "^ = "jr ^'^^ ^^^
K première intégrale r = su. De mémo, le second et le quatrième
rapports donnent une seconde intégrale u = ^y. En éliminaat u ei V, il reste
dx di/ dz
OU
dx dy dz .
alors le second rapport, comparé successivement aux deux autres, donne
ydy zdz xdx rfi/
d'où les deux autres intégrales
Ç|' = T et -*,^=Iog(y + 8). ou 2 = «^-y-
525« Si Vun des rapports (6') a pour dénominateur zéro, la variable^ dont le numérateur correspondant est la difiéttf^ tielley étant égalée à zéro, fournit une intégrale.
Car, en vertu des équations (6') cette différentielle doit être nulle.
ÉQUATIOKS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES
Exemple :
dx rfy rfî
2 = a est une premittre iatégrate, d'après notre règle ; dès . les deux premiers rapports don neat
536. Convenons d'oppeler rapport composé de plusi rapports^, ^.^ un rapport tel que j^.--,^;^^:^^^^ ou multiplicateurs X, X,, X,, sont des constantes ou^des fonctioui variables qui entrent dans p, p,, p,, q, q„ q^. Cela p si avec tous on quelques uns des rapports (1) on petit foi un rapport composé dont le dénominateur soit nul, et do> numérateur soit la différentielle d'une fonction u de to ou de quelques unes des variables l, x^ ... Xn, u = * sera intégrale du système.
Car le rapport ^- sera équivalent à l'un quelconque rapports (1) et l'on tombera sur la règle précédente. Exemple :
dx rfy dx
cij — bz az — ex bx — ay'
Les combinaisons
adx -t- bâij -+- cdz
a {ci/ — bz) -H 6 {az — ex) + c {ba; — ai/, *
ixdx + j/dy ■+■ zdz
X {et/ — bz) -t- 1/ {az — ex) -\- z bx — ay)
se réduisent respectivement à
d{ax + % + cz) . d (j* + ;/ + z^)
de là les deux intégrales
aa? -f- 5// -i- cj = a , a;- -f- y* 4- ^^ = ?.
527. Plus généralement, si F on peut former deux rapports composés de la forme -r-i -g , u c/ t; étant des fonctions des
variables et A et B des constantes, on aura, en vertu des équa-
.. ..,,s du dv , ,^ u V • ^' j j
tions (o'j, "A ^^ "F' ®^ P^^ suite -r — g sera une mtegrate du
système (6').
Exemple :
dx dy dl
y 4-/ ^4-J? j?-hy»
avec tous les rapports on forme le rapport composé
dx -H dtf -h dt d, log {x -h y -^ t) -
avec les deux premiers rapports, on forme le rapport composé
dx — dt d. loir (x — t) -
on a donc l'intégrale
ou enfin
et l'on obtiendrait de même
(x-hy-^Diy— <)• =?
1SQUATI0N3 DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES
Equations simultanées linéaires du preni
SS8. Considérons d'abord le cas de deux équ système à iatt-grer est alors
ï*. Pi. Qi Qi, V, V, désignant des fonctions doi variable indépendante t.
On pourrait proci-der par élimination comme i ramener l'intégration du sysliïme (!0) à celle d'ur linéaire du second ordre ne contenant qu'un inconnue.
Mais il est plus simple et plus éh-gant d'appliquer suivante due h. Dalembert.
Ajoutons à la première équation la seconde mt une fonction de la variable t. Nous aurons
§4-X35' + (P + ÏP,)»H-(Q + ).0,)!/ = V-
a; + Xi/ =; w
u désignant une nouvelle fonction de t. En dilTéi obtient
dx . dii du ctk
di ^'"'df dt ~^ dl'
puis, en substituant dans (11), ou a *!+(P+kP.)„-j[^+(P+XP,)l-Q+),Q,]-V
Or, y ne figurant ici qu'à la première puissance, on éliminen cette fonction y y en égalant à zéro son coefficient, ce qui donne les deux équations
g ^ (P ^ XP.; >. - (Q ^ >Q,) = 0 (13)
3^ -r- (P -t- >P.) u - (V H- XVO = 0. (!4)
L'équation (13) ne renferme que > et / ; elle est du premier ordre, mais fwn linéaire ; on ne sait donc pas en général Tintégrer. Mais il suffit, pour notre objet, d*avoir deux intégrales particulières \ et ',.
En effety en remplaçant successivement X par À, et par \ dans réquation (li) qui est du premier ordre et linéaire^ on obtiendra, pour ti, deux valeurs tii et u^ correspondantes à \, \ et renfermant chacune une constante arbitraire.
Les fonctions cherchées x et ^ résulteront ensuite de la résolution des équations
t/, = or + A^y , Mj = a? + \y. (15)
Ces valeurs contiendront deux constantes arbitraires, puisque t/j et t/a en contiennent chacune une.
5«9« Si les coefficients P, P,, Q, d sont comtanis, on pourra supposer X constant dans Téquation (13) quiserédnit alors à Téquation du second degré
(P -t- XP,)X - (U -h XQO = 0 (16)
dont on prendra les racines pour l^ et X^.
Toutefois il peut se faire que les racines de (16) soient égales ; dans ce cas on n'aura qu'une valeur de X. Mais alors, Téqnatioa (13), en y laissant X variable, prendra la forme
dans laquelle a désigne la valeur de la racine doub lion (17) ayant pour intégrale
il suffira de donner à la constante arbitraire C d particulières pour obtenir les deux valeurs de ^ qui nécessaires. Le choix le plus simple consiste à pre: sivement C ^ 0 et C = m , d'où
Il n'est peut-être pas inutile de remarquer que le. peut toujours être intégré lorsque les coefficients I sont constants.
S30. Prenons pour exemple le système
L'équation (16) est ici (1 — ty = 0, d'où 1=1, d'après les relations (18),
En portant successivement ces valeurs dans l'éi qui se réduit ici à
•^ ^- (3 — 1) rf( = 0,
on obtient, par une intégration facile,
.'-. "f* : rt. J-. jr *.c.:'. .rr !•=-> c<ilcuîs, sans diminuer la géaéri^-tr ^e *i Ct .-L -• ;■*. pr^-acns n = 3; îe srstème différenliel
__p. .ôy -R.-=V I
.:-P'--Oy-R,r = V. \ 19)
P. P„ F,, Q, 0 .M , R, R^, R^, v^ v^, V,, désignant des fonctions donn^^s Je la variible indt(»endanle /.
AjuutoQS à la première équation la seconde multipliée par > et la Iroisir-me par j*. à et :^ désignant des facteurs fonctions de /. ?fou< aurons
-i- [Q + iQ, -+- :^0,T y ). 20) -I- [R -H ÀR, + fiR,] z
= V + ).V, + |zV, Posons ensuite
j: -h \y -t- ji* = u, (21)
d'où
dx ^ du , dx du dX du ,.„,
ÉQUATIONS DIPPÉaEKTlGLLBS SIMULT
Par cette substitution l'équation (20) devienc
|^ + (P + XP,H.^P^)„
- ^[ï + K (P -H iP, + fiP,) - (R + : = V 4- XV, + ^v,
Or, cette équation ne contient y et s qu'à 1 8ance ; on éliminera donc ^ el 2 en égalant i cients, ce qui donne les trois équations
^ + (P + ÀP. + (iP.) X - (Q + 10, -f
^H ^ (P + ip, + ^p^) ,, (R ^. XR, -H
Les équations (24) et (25) oe contiennent, oi elles sont du premier ordre, mais non liné donc pas en général les initier ; mais il suFI notre but, d'avoir trois intégrales p a ri iculièn valeurs correspondantes H[, fj.,, [i,. En effet, de valeurs correspondantes X, et (i, l'équatioi lois du premier ordre et linéaire, donnera renfermant une constante arbitraire. On ai intégrale u, correspondant au système X, ( grale u, correspondant au système \ et i^,. ( les fonctions inconnues x, y, z, par les relat
Ces expressions de x, y, z, contiendront troi traires,
533. Examinons maintenant le cas o P, Q, R, P.. Qi, R,. P., Oi, Ri, sont constants.
< ..# COAFITRE XiT
On >i:.«5iit ft:<jr> aux relations :2ii et 25* en prenant pour
■/ P — >P. — -tP. — lO — >0, — iJiOw = 0 .^ P — /P, — aP,; — .R ^ >R. — :jlRJ = 0.
Un fi...!itrrra la résolution de ces équations en întrodaisant u-«r iarcanut: auxiii lir»- S d-'îinie par la relation
P-hP/ -^P,;^=S. î25)
f *n a ain^i les lr«ji< équations
P-S-^PrA^P,:^ = 0) 0 - 0. — s À -r 0,:^ = 0 [. (29.
qui. pir IVilminitioQ de ' et i^, donnent l'éqaationen S
Cl — s
Scient S , S^, S; les trois racines supposées distinctes de cet'e é*|'jition du Iroisième degré. A chacune de ces racines rêponlra un syst»- me de valeurs de >. et de j* fournies par deax q'je!:on:j'ît?s des reîatîons !2î*) et que nous désignerons respective3a-?nt p.ir > . i . f/,. u, , (/,, (z^ .
L'équaîi'-n i2»») deviendra
On y remplacera successivement pour S, X, jx\ les trois systèmes (^S^. >j. uj . S.. >.^, u.), (Sj, Àj, fij) ; puis, en intégrant, on oblieuJra pour m trois valeurs Wj, w^, ï/3 renfermant chacune une consl^inte arbitraire.
Euiîn la résolution du système (27) donnera les fondions cherchées x, y. ^ en fonction de / et de trois constantes arbitraires.
FAÎUATIONS DIFn:RE»ITI£LLES SIMUL1
Nous avons supposé que l'équalion en i racines distiocteti. L'étude du cas où il y a u: ou une racine triple nous entraînerait trop loii
<l'aitleurâ d'une manière analogue à ce qui a On peut aussi, comme au a" 516, réduire
équation dilTérenlîelle unique.
Autre incllioilc
53X II résulte de la théorie préct^denle qu se pr<)te véritablement à ubb intégralioa ctre< les cocfficienls sont constants.
Dans ce cas, on préfère souvent ù la niéthot une marche plus en harmonie avec celle q dans le chapitre précédent à propos d'aat linéaire à deux variables.
Considérons d'abord les équations
5J + Px + Qï + R^ = 0 If + P,x+Q,y -+■«,.- = 0 dz
dt
i-Q^-l-Il..- = 0
privées ilc seconds membres et k coelQcïents (
Tout revient évidemment h. trouver trois si
iières (.c„ «/„ z,), {.r,, ,j„ z,), [x,, >j„ z,] ; car l
- Cj^i
satisfaisant au système (31) et renfermant l arbitraires, serait le système intégral de (31).
Cherchons donc trois solutions particulières
Posons à cet efTet
656 CHAPITBE XIV
OÙ S, If |x sont des constantes inconnues ; puis, substitaons ces expressions dans (31). Nous obtiendrons les trois relations (29) qui^ par Télimination de ). et de {x, conduisent à Téquatioa en S qui porte le numéro (30). Soient Sj, S,, S, les racines de cette équation numérique du troisième degré» désignons par Xj, >,,, X, les valeurs correspondantes de X et par ^i, .u,, ji, les valeurs correspondantes de k ; nous aurons ainsi les trois solutions particulières cherchées
(^, = e- ^2*, ,j^ = i^e- S^S z, = ii,e- S^') Le système intégral du système diiïérentiel (31) est donc
y = C,X,e-Si^ +C,X,ô-Si^-f.C3X,ô-s,e ^. (34)
