Considérons^ en second lieu, le système
^-hPo? -hOy ^R;r =V
^y 4- Px, -+- 0,y -h R.^ = V, ; (35)
Jl -f. P,x 4- 0,y + R,cr = V,
dans lequel les coefQcients sont constants, mais dont les seconds membres V, Vi, Vj sont des fonctions données de /.
Nous allons appliquer la méthode de la variation des constantes arbitraires.
A cet eiïet, cherchons s'il est possible de satisfaire au système (3o) par les expressions (34), à condition de considérer Ci, C„ Cj non plus comme des constantes mais comme des fonctions convenables de /.
ÉQUATIONS DIPPéRBMTlBIXES SIUULTANÉl
Nous aurons dans celle hypothèse, l'équation dt ' ' ' ' ' "
à laquelle il faudra joiudre les expressions ana
et de -17 . Eu portant ces deux valeurs, ainsi que ] dans les équations (35), on voit que, en vertu (29), les termes en G,, Ci, f.j sont nuls. )1 n équations
* ^ " dl * ' lit - 1 .-s,. ëC, ^ 1 .-s,. î!Ç, , ), ,-s,, <ic,
^« ' -3/ + W • -3f+ f,' • -jf -
Oa déduit de là
<iC, . dC, . d(L
T, , T,, T, étant des fonctions de / ; d'où, par inté
Vu "iv ti étaot des constantes arbitraires ; il ne rei substituer ces valeursde C,, C,, C,, dans les fonn avoir les iotégrales du système (35).
CucuL lAnniisiaiL
f ^H CHAPITRE XIT
Propositions reiativ<^s aux intégrales des équations diflerentieiies simultanées
du premier ordre
o3o« Revenons au sysl«'ine des n équations différentielles du premier ordre
''? dr. d '\ dxn ^«^
P - pT "~ K "~ - "" P7 ^
où p. P,, P,, ... Pfc sont des fonctions données de n 4- 1 variables/, -Tj, ... x.f et soit
le système inté::ral de ce svstème (n<** 520 à 523). • Les fondions /», Z^, ... f» qui constituent les premiers membres des intrsrrales '[ST) jouissent des propriétés suivantes qui nous serons utiles dans le chapitre XV.
1* il d*^signant fune quelconque de ces fondions^ on a idetitiqueuie}ii
En etîet, puisque i# = s est nne intégrale du système [Z6), on a
du , du , du j .^ ,-rt
w <" + Av: ''■■■• -^ - + s; •'"■ = "' <"
jwur les valeurs d** /, x^ ... Xn qui salis font au syslème (36): et comme, en vertu de ces équations (36), dly dx^ ... dxn sont proportionnelles à P, Pi ... P„, féqualion (38) doil avoir lieu pour les valeurs de /. j*,, x^ ... a*,, qui satisfont au système (,36). Mais la relation (38) contient seulement /, j*, ....Tnet nullement les différentielles rf^, dxt, ... firii; nous avons vu d'ailleurs (,n^o21) que pour une valeur quelconque de /on 1
ÉQUATIONS DIFFÉBKHTIELLBS SIMVLTAXÉtS
pouvait se donner arbitrairement les valeurs de x,; donc réquatiofl (39) doit en définitive avoir lie soient t, j-,,Xi ... jr».
2" 11 suit de là que l'équalion (38) admet les n distinctes
Par suite, cette équation (3) est satisfaite par tou arbitraire
ties fonctions /",, /"j ... /„■
En efîet, d'après (1°), pour qu'une fonction de satisfasse à l'équation (38), il suffit que cette foncli< une constante soit une intégrale du système (3(i) e que cette fonction reste constante quand l, x,, x, ... en satisfaisant aux conditions (36). Or, puisque jouissent de cette propriété c'est-à-dire restent cons les conditions (3(i), une fonction arbitraire n(/,,y ces fonctions restera aussi constante dans les mêmes et par suite sera encore une solution de (38).
3" On peut du reste vérifier que, si «,, u, ... «, s lutions de l'équation (38), une fonction arbitraire c tions
est encore une solution. En effet, on a
et en subslituant dans (3)
+ iT:. (P ^£ ^ p, f^iî ^ ... ^ p„ i!?fz\
or cette relation est identique, puisque, Ui ... t/^ étant des solutions de (38), chacune des parenthèses est nulle.
i"" Il est facile de déduire de là que Yéquation (38), bien qu^elle ait une infinité de solutions, n admet que n solutions W distinctes.
En eiïet supposons qu'elle ait plus de n solutions distinctes,
f et soient
"l=?i('l'''|--"^«)»"j = ?l(^'^I ..•a7«),...Mn-f ,=?n-i-i('i«i— -ï
fi -t- 1 de ces solutions ; puisqu'elles sont distinctes, on pourra les résoudre par rapport à /, j:,, Tj ... x„ et en tirer
' = 'rt«t, . •«»-, i), JT, = ^j(mi...u»^,), ... ar„='V»(«i. — «'«-i)-
Or, soitO(/, X, ... Xm) une fonction tout à fait arbitraire de /, Xi ... Xa. En y portant les valeurs qu'on vient de trouver pour /, X, ... x«, on aurait
e = x(tti, "j ••• ^n)
mais, u^ ... t/. étant des solutions de (38), 0 qui est une fonction de u^ ... Un serait encore (3^) une solution de (38). Oonc réquation «38; serait satisfaite par une fonction quelconque e ^/, X, •.• X. des variables /, x, ... x. ce qui est absurde.
5^ En résumé, Téquation (38) admet (2°) les n solutions distinctes
Elle n admet d'ailleurs que n solutions distinctes (4^). Donc toute solution de cette équation doit être une fonction de At A .- /■ ; ^l comme ^^3^^ une fonction arbitraire de /,, /i — A
EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANEES 661
satisfait, il s'en suit que la solution la plus générale de réquaiion (38) esi une fonction arbitraire des fonctions /i» /» ••• A» y* égalées à des constantes forment le système intégral des équations simultanées (30).
530* Méthodepar approximation de M. Picard. — M. Picard a donné, pour Tintégration des équations diiTérentielles, une méthode d'approximations successives qui est particulièrement intéressante pour les ingénieurs et doit trouver place ici.
Comme on peut toujours poser
da? ~" 2/i> '^^ — y»i • • . ^^ — y m
et par conséquent remplacer une équation différent i elle d'ordre quelconque par un système d'équations du premier ordre^ nous considérerons un pareil système
du - , V
dx dv dx
dv ^ , N
dxv dû
= fn [Xj Uy V, ... 1C) \
dans lequel fi, /, ... /» désignent des fonctions continues, réelles, des quantités réelles x, Uj v ... tv dans le voisinage de ^of ^0' ^0 ••• î^o« Nous supposerons en outre qu'il existe n quantités positives A, B, ... L telles que, ^, y, w, « ... i«; et l/j u\ v' ... w' étant comprises dans les intervalles de variation des variables, on ait
I fi {^i u\ v' ... w') — /;(.r, w, r, ... to) \
< A I m' — M I -h B I r' — t? I H- ... -h L I îr' — to \ .
Voici alors en quoi consiste la nuHhode : on considère Id système
du dx
I ^ / \ duK - , V
t = A G^» Wo» ^0 ••• t^-'o) •-. -^-! = fn G^, Wo» ^'O ••• ^o)
f:^2 CHAPITRE XIV
et l'on en tire, par îles quadratures, les fonctions de x, u,, Ti ... iri qa*on détennîne par la condition qu'elles prenne&t les Talears v«, r, ... tr^ ponr x = x«. On détermine de même u^, x\ ... îc^ par les équations
-3-!= fi ^» "i» '^i - «'1) • ■ ^=/^^' ^1» ^1 •• '^^i)
et par la condition de prendre les valeurs u^^ r« ... u\ pour X = j-^, el ainsi de suite les fonctions u«,r« ... tcm étant reliées aux pn^cédentes par les équations
fffr^ . . .
^^,. /l '*''> "«—I» *^WI-|» ••• '^Hl — ij
et satisfaisant aux conditions
ffm = W4, r„ = r^, ... tP« = tr^
pour j- = j-,. MM. Picard et LindelofF ont démontré qac «^i, r» ... ir» ont des limites bien déGnies w, r, ... jr qui satisfont aux équations dîtTérentielles pourvu que x ne s^écarte pas trop de la valeur initiale x*.
Si 1 on dr^si^e par a l'écart maximum de x, et par b le plus petit des écarts de m. r ... ir pour lesquels les fonctions fi restent continues et réelles, si l'on appelle M le module maximam de ces fonctions dans les mêmes intervalles, la solution sera assurée si ' x — x^ | ne dépasse pas la plus petite des quaii-
