DU PREMIER ORDRE
GénéralUés
537* On nomme équation aux dérivées partielles toute relation entre plusieurs variables indépendantes oti, j:,, ••• x^ une fonction z- de ces variables et des dérivées de divers ordres de cette fonction par rapport aux variables ar^, x^, ... Xn* Vordre <le cette équation est, par définition, celui de la dérivée de Tordre le plus élevé qui figure dans cette équation.
Les équations aux dérivées partielles ont été l'objet des travaux des plbs grands géomètres parmi lesquels il faut surtout citer Dalembert, Ëuler, Lagrange, Monge, Ampère, Cauchy et Jacobi. Mais c'est à Caucby que Ton doit les premières recherches rigoureuses sur Texistence et le degré de généralité de la solution. Nous ne saurions, sans sortir de notre cadre, rapporter ici les théorèmes de Cauchy malgré les simplifications introduites dans leur démonstration par M. Darboux et M. Kowaleski. Nous renverrons sur ce sujet au Cours d^analyse de M. Jordan.
D'ailleurs, pour les équations du premier ordre, Texistence et la nature des intégrales résulteront de la marche suivie pour trouver ces intégrales.
537. Avant d'entrer véritablement en matière, il convient de signaler un cas très particulier ; c^est celui où les dérivées
{«•'•; CHAFI-nS TV
pirtl-ell-:^ contenues dans réquation diflereotielle ne concerntnt qu'une s^euie variable.
Oz. devra alors op>érer comme si chacune des autres variables ^'làJt coa^tinte: mais il tandra remplacer les constantes que l'int-^jra'ion aura introduites par des fonctions arbitraires de^ iLr3:es virlàLIes.
S..:, j»ar exemple, réquation
Si i'in intt-^T^ en regardant y comme constant, on a d: u, ^n reaip!i«^ant la constante C par une fonction arbitraire
iBlésraltoB des éqvatloiis linéaires du 1*' ordre
a«x dériTées partielles
S3S. II s*d;:it d'intégrer l'équation
^^-T »^ ^3 . ir* î»5^
--' j oXj iv.>'
ou Pj» P^ ... Pa et P sont des fonctions données des n variables ind'.'pecdàates j . x, ... or, et de la fonction inconnue s de ces vari^bles-
Or. <cit = JT,, . \ .r,, j) = 0 Féquation qui déGnit une solution quel jonque de 1'. En diffërenliant successivement par rapport à chvioune des variables indépendantes Xi ... jr„, on aura les re! vit ions
do
do
bz
bZ
bZ bX„
bZ
qui donneront les dérivées partielles de s
attendu que ^ n'est pas nul, sans quoi Téquation considérée
o [x^, a:, ... Xn, ^) = 0 ne contiendrait pas 5, ce qui est absurde. En portant ces valeurs dans (1) et chassant le dénominateur
commun ^-^ on aura
vZ '
donc la fonction <p satisfait à l'équation (4).
Réciproquement, si <p (a?,, ar^ ... a?», z) est une fonction des n -h 1 variables x^, x^ ... Xn, z satisfaisant à l'équation (4), la fonction z de x^, œ^ ... œn déterminée par
<p(.v7j, â7„ ... Xm z) =0
satisfera à l'équation (1) ; car, en portant dans (4) les valeurs ^^ ^' ^ '" ^' *"'ées des relations (3), et supprimant le fac-
teur commun ~ qui n'est pas nul par hypothèse, on tombera
sur l'équation (1).
Il résulte de là qu'on obtiendra la solution la plus générale de (1) en égalant à zéro la solution la plus générale de (2), Or, on sait que cette dernière solution est
^(fii /i •••/»»)
7: étant une fonction arbitraire et /",, /; ... ^ étant les fonctions de a?,, a?j ... a?,,, z qui égalées à des constantes constituent le système intégral des équations différentielles ordinaires simultanées du premier ordre
dj:. dx. dXn dz /-x
Dv ne en!; a \i s.jlutiua la plus générale de (1) sera donnée par
•:a. 51 Ton veut, par
Ii"jU pt'itiqu^. — Pour intèfjrer f équation (I), formez le <jy>ine <i»tiultanè (3 ; dèienninez son système intégrtd '.=«,./'. = x^ .../■« = «., e/ êcritez que F une des fonctions ^.' fi "' fm ^^i u^ie fonction arbitraire des autres,
S39i. Lorsqu'il n> a qoe deux variables indépendantes (ce q-ii arrive le plus souvent et notamment dans les applications à la théorie des surfaces), on désigne habituellement ces deux variables par x et y, et par /» et ^ les deux dérivées partielles
^> -7, et Ton écrit l'équation (I) dans ce cas particulier sous Il (orme clasùquf
Pp-^-Qq = K (7)
P, Q, R étant des fonctions données d*x, y^ 2, L'intégration de cette équation dépend alors du système
ds d»i dz ,jj,
et si f^ = ^^, f^== Xj sont les intégrales du système (8), l'intégrale générale de Téquation (7) est /j = « (/j), « désignant ane fonction arbitraire.
^S40« Détermination de la fonction arbitraire.
La fonction arbitraire devra être déterminée dans cha^ae problème par des conditions particulières.
Ces conditions reviennent en général à la suivante : faire en sorte que Finconnue z se réduise, pour une valeur donnée quelconque î de Fune x des variables^ à une fonction donnée
Oo y parvient comme il suit : quand on aura substitut! -valeurs
dans les expressions de /;, f^ ... f„ ces fondions ne contie dront plus j-, et z, mais seulement j;„ x^ ... .r^ ; elles dévie dront
A = 1',(a! ar„)
et il suffira d'éliminer, entre ces n relations, les» — 1 vari blés j\ ... .r„, pour obtenir la relation
qui fait connaître la forme particulière <f> qu'il faut attribue! la fonction arbitraire n pour le cas du problème en questio
Application au\ ramilles de surraces
