Soit à intégrer l'èquatioa

ap + bq = i (9;

dans laquelle a etb sont des constantes donni!cs et p 6tq\ dérivées partielles ^' ^•

11 faut d'abord (n" 539) intégrer le système

dx d v ds

ce qui donne

j; — as = C, y — bz = C.

fJA CBAFITBE XV

Si donc on désigne par^ le symbole d^ane fonction arbitraire, on aarm

♦ x — az, >/ — bz) = 0 (10)

pour rietégrale générale de réqnatîon proposée (9).

On démontre en Géométrie analytique qae Téqaation (l(h repré^nte l'équation générale en termes Gnis des surfaces cylindriques dont les génératrices ont une direction donnée.

1* Supposons que Ton veuille déterminer la fonction arbi-* traire par la condition que la surface cylindrique passe pamne courbe dont on donne les équations

ç <x, y, z) = ^, ^ (.r, y, 2-) = 0. (il)

On posera

X — ai: = w, y — bz = v\

ce qui permettra de mettre les équations (il) sous la forme ç (m -H az, V -4- hz^ jr) = 0, 6 (m — azy v — bz, ^) == 0 d'où résultera, par Télimination de xr, une relation toile que

F sera la forme particulière de 4> qui répond à la question.

2<^ On peut vouloir déterminer la fonction arbitraire par U condition que le cylindre soit circonscrit à une surface dont réquation

est donnée.

On ramène la question à la précédente (1^) en cherchant la courbe de contact. Or Téquation (12) est déjà une des équations de cette courbe et il suffira de trouver une seconde équation. On l'obtiendra en exprimant que la surface (12) et le cylindre ont le même plan tangent en tout pointer, y, -d^ la courbe considérée. Or, en identifiant les équations de ces

deux plans

on aura

d^où, en portant dans (9) les valeurs de /> et de ^ tirées de ces deux équations

(Miette équation et l'équation (12) déterminent la courbe de contact.

S42. Soit à intégrer Téquation

a, b, c étant des constantes données.

H faut intégrer d'abord le système

dx dy dz

ce qui donne

et par suite

♦[fe-:.ï^]=» «*)

4> désignant une fonction arbitraire.

C'est l'équation générale en termes Gnis des surfaces coniques dont le sommet {a, by c) est donné.

670 CHAPITRB XV

En suivant une marche analogue à celle indiquée au numéro précédent, on pourra déterminer la fonction arbitraire par la condition que le cône passe par une courbe donnée ou soit circonscrit à une surface donnée.

o4«). Soit à intégrer Téquation

p V -^ qy = 0. (15

11 faut d'abord intégrer le système

fie di/ (fz

ce qui donne

et par suite pour l'intégrale cherchée

4» désignant une fonction arbitraire.

L'équation (16) est l'équation générale en termes finis des conoldes ayant l'axe des z pour directrice et le plan xy pour plan directeur.