Soit à intégrer l'équation

{cy — hz p -H {ojs — ex) q = bx — ay. (17*

Il faut dabord intégrer le système

dx dy dz

cy -^hz az — ex bx — a?/*

Or si Ton désigne par dt la valeur commune de ces rapports, on a

(fx = (cy — bz) dt

dy = {az — cx)dt\ (18)

dz = [bx — az) dt

Si l'on ajoute ces trois équations après les avoir multipliées respectivement d^abord par x^ y, z, puis par a, 6, c on a, en intégrant^

X' 4- y' -H -2 = C ax -^ by -^ cz z= C

et par suite, l'intégrale générale de l'équation proposée (17) sera

ax '\- by -h cz = ^ {x- -+- y^ -+■ ^*).

C'est l'équation générale en termes finis des surfaces de rêvo^ lution.

545« Trouve!' la surface dont les normales rencontrent Faxe Qz et qui coupent le plan des zy suivant un cercle ayant pour centre foriyine et pour rayonune longueur donnée \\,

Cherchons d'abord l'équation différentielle des surfaces dont les normales rencontrent 0:; ; il suffit d'examiner que la projection

de la normale sur le plan ur-Oy passe par l'origine, ce qui donne

pij--qX = Q. (19)

Pour intégrer cette équation, il faut intégrer préalablement le système différentiel

dx dy dz

On obtient pour le système intégral

te = ^2 ^ V* et v = Zy (20)

et, par suite, pour l'intégrale générale de l'équation (19),

* désignant une fonction arbitraire.

II reste à détermiaer * de façoa que la surface en question passe par le cercle donné, c'est-à-dire de telle sorte que pour

^ -. 0, on ait z = /r* — y^ A cet effet on porte ces valeurs dans les équations (5), ce qui donne

d'où, en éliminant y,

enfin, en remplaçant w et v par leurs valeurs primitives (20), on obtient

La surface cherchée est donc la sphère qui a l'origine pour centre et R pour rayon.

Equations aux dilTérentielles totales