On donne ce nom à toute équation de la forme

Pdx H- Qdy -h Rcf^ = 0 (21)

où P, Q, R sont des fonctions données de œ, y, z.

L'étude de cette équation nous permettra de continuer la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

On dit que l'équation est intégrable lorsqu'il existe une relation

telle qu'en la différentiant, on obtient une équation

qui soit identique avec (21) eu égard à la relation (22).

Nous nous proposons ici d'abord de chercher cette condition d*intégrabilité, puis, lorsque cette condition est satisfaite, de donner le moyen de trouver la relation intégrale.

54'y. Théorème. — Pour que V équation (2\)soii intègrable^ il faut et il suffit qu'on ait

p(5Q^J)+q(?5 5P\ + r/^±^Q\ = 0(23) \^z hyl ^ Vôj? ^z J \^y ^x) ^ '

En effet, considérons l'expression Qdy -^-Kdz dans laquelle nous regarderons x comme un paramètre. On sait qu'il existe un facteur \Xf tel que Texpression (ji(Qc?^ + Kdz) soit la différentielle exacte d'une fonction

des deux variables ^ et :; et dans laquelle figure, aussi bien que dans ^^ le paramètre x.

Cela posé, substituons à la variable y la variable u définie par la relation (24) ; on aura

rftt = -^ cfx -h ~ c??/ -+- — dz Cyo? ^y "^ dz

ou, comme par hypothèse

,.Q = ?J et H>R = t'

il vient

(lu — ^ o?.r = H {Qdy -+- Wdz).

en sorte que Téquation (21) devient

ou

IJ^Pdx -h rfw -^ ^ rfa? — 0

ox

du — Kdx = 0

CiaCVl MFUIITJBIMAL

en posant

expression dans laquelle on suppose que y a été remplacé f or sa valeur tirée de (24).

Or, s'il existe une relation intégrale (22) de Téquation (21), en faisant dans cette relation la transformation précédente, c'est-à-dire en y remplaçant y par sa valeur tirée de (24) on aura une relation

dont la diiïérentiation donnera une équation

^.ï^ rfi, ^ ^ rf^ ^ ^ rf;, = 0 - (28

^u ^r ôx ^

qui devra coïncider avec (23), eu égard à (27). Orréquation(23)

ne contient pas dz ; donc il doit en être de même de (28) ; par

ôF suite ~ est nul, en d'autres termes F ne doit pas contenir-,

c'est-à-dire que, par la substitution de y tirée de (24) dans l'intégrale (22), z doit disparaître de lui-même en même tenaps que y ; par suite, en difîérentiant cette transformée, on aura une équation dans laquelle z ne figurera pas du tout ; et comme cette équation ne doit pas différer de (28), il faut que K sait indépendant de z. Cela suffit d'ailleurs, car si K ne contient pas:, on pourra intégrer la transformée (2.^) qui est une équation du premier ordre à deux variables u et x, ce qui donnera

par suite en remplaçant u par sa valeur (24), c'est-à-dire faisant la transformation inverse, on aura

A (4^» x) = G ou tp (a?, y, z) = C pour la relation intégrale de (21).

Ainsi la condition nécessaire et suf Osante est que K soit indépei%dant dez. Il reste à développer cette condition, c*est-à-dire à ^exprimer en fondions des données P, Q, R.

A cet effet, rappelons que K est ce que devient i^P — ^

après qu'on a remplacé dans cette expression y par sa valeur tirée de (24), ou, ce qui revient au même, sans faire la substitution lorsqu'on y regarde y comme une fonction de x^ u ei z définie par (24). K est alors fonction de z d'abord directement puis indirectement à cause de y y et pour écrire queK est indépendant de Zy il faut écrire que sa dérivée complète par rapport à ;; est nulle, c'est-à-dire qu'on a

'^- étant déduit de l'équation (24), c'est-à-dire étant fourni par

la diflérentiation de (24) par rapport ky (uei x restant alors constants) ce qui donne

by bz "^ i'i *

et par suite, en substituant cette valeur de ^ dans la précédente,

ÔK ôj^ ^ i>K Ô'V r.

bZ by by iz

En remplaçant K par sa valeur (2G), cette condition prend la forme

ou

•"fj CHAPITRE XV

m^às on a

Li coadition devient donc

•3 !a read plus s}'métriqoe en lui ajoutant l'expression

»p',."R);'(i^Qn

•|-ji «>l nulle en rertn des relations (29). On a ainsi

Ka trîTcctuant les ditTérenliâtions et réduisant, ^ disparait et il r.<te pour la condition cherchée la relation énoncée (â3).

:>48* On voit qu'il ne faut pas confondre la condition d'inlëjr.tb !ilê de \ équation Prf> -h Qrfj? -+- ^dx = 0, avec la condil::n d'intégrabililé de l'expression Pdx -+- Qdx -^Edx; tandis que la première est unique^ la seconde est triple car elle se

j... ôP ôQ dP ôR dQ ôR . compose des trois conditions ^=^^^ = ^^^ = ^' Auss>

bien, on devait s'y attendre d'après ce qui était arrivé dans le cas Je deux variables : Il y aune condition pour que Yexpres-

c'est — = ~j, tandis que lêiiuvilion M'^î- -i- NVy = 0 admet toujours une intégrale.