La démonstration précédente indique la forme
z ( i\ y, ;:' = constanle arbitraire
^.wz-r'^è
de la relation intégrale de l'équation (21) ; maïs elle donne même la marche à suivre pour la trouver lorsqu'elle existe. On commencera par chercher la fonction u = ^{œ, y, z) et par suite le facteur k ; puis on fera le changement de variable indiqué, ce qui donnera l'équation différentielle (25) entre ueix; on déterminera son intégrale /\ (u, œ) = C, d'où résultera fi {^, x) = C pour l'intégrale cherchée.
Toutefois voici un procédé plus simple pour intégrer l'équation (21) lorsque la condition (23) est remplie :
550. Problème : Intégrer l'équation (21) lorsque la condition (24) est remplie.
? (^> y>x) = ^ étant l'intégrale inconnue, on a
5a? ôy ^ ^z
et par suite, en comparant avec la proposée,
d<P 5(p do
^ by bz
et enfin, à cause de la condition (3) qui est remplie par hypothèse,
/ôQ ^\ ôj /ôR ôP\ î5 /5P ôQ\ ôo
\ô;r ôy/ôj:"^\ôa? àz J oy '^ \i)y ^)bz~ ^^
C'est une équation linéaire aux dérivées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée ?. C'est même une équation sans second membre et dont les coefficients ne renferment pas o^ en d'autres termes c'est une équation de la forme de celles considérées dans le lemme du n^ 24. On sait que la solution générale de cette équation est une fonction arbitraire ^ (s P)
étant le système intégral des équations simultanées
dx dy dz
ôQ ôR "~ ^ ôP "^ ôP ôQ . (32)
ùz ^y ^i àz by ôj?
La fonction <p doit donc rentrer dans le type ic {%, p) et par suite l'intégrale (p (a?, y, z) = c de (21) sera
F étant une fonction (non plus arbitraire comme r) mais choisie de façon que Téquation
obtenue eu la différentiant, coïncide avec la proposée (21), en égard à (33). En d'autres termes, si Ton substitue aux variables a; et ^ et à leurs diQérentielles dXf dy dans la proposée, leurs valeurs tirées des relations (31) et de celles qu'on en déduit en les difîérentiant, on devra tomber sur l'équation (3i) ; mais 31) uô contient que les seules variables a et p ; donc par l'effet de la transformation indiquée la transformée de (21) ne contiendra plus ni z ni dz; elle sera de la forme
AdoL H- BrfP = 0 (35)
A et B étant des fonctions de « et de p seulement. En intégrant cette équation (35), on aura donc F (a, p) = C et par suite F (/;, /i) = c pour rintégrale cherchée de (21).
De là résulte la règle pratique :
Cherchez le système intégral (31) des équations simultanées (32) et transformez l'équation différentielle proposée (21) en substituant^ à F aide des relations (31) les variables a et 9 aux variables x et y; la transformée sera de la forme (33) {s disparaîtra de lui-même) ; intégrez la, et, dans son intégrale F (a, p) r= C, remplacez « e/ P par leurs valeurs (31) enx,y, z : vous aurez rintégrale de la proposée.
Exemple :
zdx -h (a? + dfdy — {x -\- a) dz = 0;
ÉQUATIONS AUX d£r1v£bS PARTIELLES SU PRBUIBR ORDRE B79
système (32)
dx dy dz
(a-4-.)(d» + dP)-
dx = d., (» ■+ f) d.
système intégral
dy =
En substituant dans la proposée^ on a
jrf. -H (. -(- o) {dz -t- (^) — (i — p) d« — (« + a) qui se réduit à
(« -+- «) rfp — M« = 0 ou
et en l'intégrant
l?— /(t<H-a) = l. coDst.
ou
d'où résulte pour l'intégrale cherchée
ou entio
^^) CHAPITRE XT
EqamlMMi noa Itaéaire aux déri%'ées partielles da preuiier ordre ; eas de deux variables indê-
peadaates
o^i. LVquatioQ à intégrer a pour type
où p eiq d»^i:znenl les dérivées partielles p= —^ q = — ,
La méthode à suivre pour intégrer cette équation consiste à en chercher d'abord unf intégrale complète ; on nomme ainsi, d'après L.ajxan^e« une solution renfermant detuc constantes arbitraires c'est-à-dire un nombre de constantes arbitraires égal à celui des variables indépendantes, qui ici sont les deux variable^ x e\ y , De cette intégrale complète, on déduit ensuite V intégrale générale.
Recherche d'wie intégrale complète.
Pour obtenir une intégrale complète, on cherche d'abord une équation
? {^, y, ^. Pi 9) = a (3*7)
(où X désigne une constante arbitraire), qui soit telle que les valeurs de p eide q déduites du système (36) et (37) et portées dans
dz—pdx — qdy = ù (38)
rendent intégrable cette équation (38) aux différentielles totales. Nous allons voir qu'il suffit que ^ satisfasse à une équation linéaire aux dérivées partielles ; on déterminera donc f/;ie solution de cette équation linéaire, ce qui fournira la relation (37), et puis, après avoir tiré p et ^ de (36) et (37) et
EQUATIONS AUX DiRlVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 681
porté dans (38) ces valeurs qui contiendront déjà une constante arbitraire a, il ne restera plus qu'à intégrer l'équation aux différentielles totales (38) ce qui introduira une nouvelle oonstante arbitraire P ; on aura donc bien ainsi une solution contenant deux constantes arbitraires, c'est-à-dire une intégrale complète.
Entrons dans les détails :
Cherchons d'abord la condition d'intégrabilité de l'équation (38)9 p eiq n'étant plus donnés directement en x, y, z mais déterminés par les équations implicites (36) et (37). La condition d'intégrabilité
se réduit ici, (puisque P = — p, Q = — q, R = 1) à
«^^ËE 5P + ?2 = 0 ou ^ + q^Jl = ^ +p^
^ i>z ^ bz i>y bx ôy ^ bz bx ^ àz
que nous conviendrons d'écrire
ôp bq
hy ôa?
(Il importe de bien se familiariser avec cette notation qui simpli6e l'écriture : en général, o> étant une quantité quelconque^ nous désignerons
P^S^I expression -+;»-, et par- lexpression - + ?-].
Pour trouver la condition cherchée, il sufGt de tirer par
^et^i
ôy bx
différentiation ^ et ^ des relations (36) et (37) et de porter
dans (39).
Or en différentiant chacune des relations (36) et (37) d'abord
par rapport à x, puis par rapport à ^, on a les 4 équations
c^F ôF ôp ôF ôflr
ôF ôF ôp ôF ô^ ^ àtj '^ ip by "^ ôgr ôy
Sa: ip djj ôg ô.^•
où entrent ^ ei;r mais aussi :^ et r^ dont nous n'avons que
faire ; il faut donc éliminer ces quatre quantités entre les 3 équations (39), (40), (41), (42), (43). On y parvient élégamment en ajoutant les équations (40), (il), (42), (43) après
les avoir multipliées respectivement par ~, r^, — — , — 5^ » ^'^ obtient ainsi (en ajoutant par colonnes)
W iSO Ti ôF W i>9 1!Ô ôF r, /iiA
007 bp bx dp î>?y ôg by bç[
les autres termes se détruisant à cause de (39).
Telle est la condition cherchée ; la forme abrégée (44) étant développée en faisant retour aux notations ordinaires est
\0?/ ^ bz / bp
OU, en ordonnant par rapport aux dérivées partielles de ^,
ôF ôj ôF ô9 f ^ ^\ 5î ■ /^ ^\ ^ ^
Sp' i)a? "^ aq àij "** V ^^P ^ ^/ «>^ W "^ ^ *^/ ^P /
Telle est l'équation linéaire aux dérivées partielles à la-
KQUATIOXS AUX DKHIVÉBS PARTIELLES DU PRRMIEIt ORDRB 06:
quelle il su/fil que f satisfiisse, c'est-à-dire, doot il suflit d' coDnaitre une solution.
Cela posé, rappelons que pour intégrer cette équation, 01 considère le système d'équations dilTérentielles ordinaires si' iQultanées
ilx dy rf£ dp rfy
et l'on sait que si / [j-, y, z) = a est l'une quelconque de intégrales de ce système, la fonctioa / est uae solution d l'équation (44).
On déterminera donc u/ie intégrale /(a:, y, 3) — « dusystèni
(45) (celle que l'on trouvera le plus aisément) et en prenan 7 = /; on aura l'équation cherchée (37). En d'autres terme on adjoindra à l'équation proposée l'une des intégrales di si/sième (i5) el l'an aura ainsi deux équations d'où l'on ti rera p et q, pour les porter dans (38). // ne restera plu alors qu'à intégrer celle équation aux différentielles totale pour avoir une solution de (36) de la forme
p étant une deuxième constante arbitraire ; ce sera une inté grale complète de l'équation proposée.
553< liecherche de l'intégrale générale.
Désignons par
l'intégrale complète qu'on vient de trouver. Puisque c'est un solution de (3t>), c'est que V élimination de i^p etq entre (3ti
(46) et les deux relations
qui résiulttint de la ditlérentiation de (46) successivement pt
68i CHAPITRE XV
rapport kx el ky, conduit à une identité ; les lettres x et ^ disparaissent donc d'elles moines par le fait de cette éliini- □atioa de z, p et g.
Par suite la même chose arrivera quelle que soit la signification de ces lettres pourvu que les relatioas (47) cooserveot la même forme, en sorte que (46) ne cessera pas dVtre une solution de (36).
Or si l'on suppose que > et ^ au Heu de représeoter des constantes représentent des fonctions d'jr et d'^, les reialious obtenues en difTt^rentiant (46) successivement par rapport à s et à ^ seront
tix hZ "^ ûa ùa; .ip M! ' ùy az" Dx bt/ ~^ {ip fff
Pour qu'elles se réduisent à (47), il suffit de poser
a; ûï ô-J, ft? !4 ùa tK> 63 ,
Telles sont les conditions que doivent remplir les fonctions a et ? pour que (46) soit encore une solution, lorsqu'on y considère a et P comme des fonctions d'x et d'y. On en déduit. (en multipliant la l'" par —, la 2' par ^ et retranchant)
ù9 fla jiB ùa. „
rr^ — jp75 = 0 ou
t>xi>,/ ix ùy
'après la théorie des déterminants fonctionnels exige lit une fonction de a ; on posera donc
ine fonctiou arbitraire; les relations (48) se réduiront une seule
iQUATlONS AUX DKRiVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 685 OU
et Tintégrale résultera de rélimination de « et P entre (46), (50) et (55). L'élimination de ? peut seule être effectuée tant que ic reste arbitraire, et pour représenter l'intégrale , il faut conserver le système des deux équations
cette intégrale renfermant une fonction arbitraire a reçu le nom i! Intégrale générale de Féquation (36).
On voit qu'on obtient Vintégrale générale en remplaçant dans une intégrale complète^ l'une des deux constantes p par une fonction arbitraire -k (a) de l'autre «, et adjoignant à cette équation sa dérivée par rapport à «.
