Conclusions ; Intégrale singulière

Nous venons de trouver une solution de (36) renfermant une fonction arbitraire. Mais n'existe-t-il pas d'autres solutions de (34) en dehors de cette intégrale générale ?

[L'intégrale complète doûtnous sommes parti n'est pas une solution distincte de l'intégrale générale ; elle y est renfermée; elle répond, en effet, au cas où Ton considère a comme constant et où Ton prend pour la fonction arbitraire ic («) une

constante P^ car alors ~ = 0 et l'équation (51) qui a fourni

la 2® des relations (52) disparait.]

Pour répondre à cette question nous démontrerons d'abord le théorème suivant :

Toute solution de féquation proposée (36) peut se déduire d'une intégrale complète quelconque en y remplaçant les deux constantes par des fonctions convenables dx et dy.

Puisqu'il ne s'agit que de la démonstration dun théorème^ nous pouvons supposer que l'équation diflérentielle proposée

TTT

aussi bien que sa solution soient résolues par rapport à la fonction inconnue z.

Soient donc

z = F(x, y, p, f/) réqualion différentielle, (Il

z =. '\)(û(j, y, «, P) une intégrale complète. 2)

- = e (x, y) une solution quelconque. (3 )

Puisque (2') et (3') satisfont à (l), c'est que les deux relations 'K'T, y, a, p) ^- F 1^^, y, ^^^ , ^y — J (V-

sont des identités. Dans la première les lettres « et p doivent donc disparaître d'elles mêmes ; par suite cette équation restera encore une identité si Ton y remplace dans les deux membres a et P par des expressions quelconques en j: et y, et en particulier par les valeurs de a et de P qu'on tirerait de

e»; {x, y, g, p) ^ ftfl {x, y)

^X ' KiC i ,„

mais alors les seconds membres des relations (4') et (3) si»nî les mêmes, il doit donc en être de même des premières; on a donc identiquement

0 (07, y) = i^ {x, y, ot, p). T )

Ainsi toute solution z = ^{x, y) peut se déduire de Tinlégralt complète z ^=^ (r, y, a, ?) en y remplaçant les constantes let 3 par les expressions en a: et y tirées du système (6').

Ce théorème va nous permettre de répondre à la questica posée ci-dessus.

BQDATIONS AUX d£hiv6bS PAUTIBLLBS DU PRBHIBR ORDRB BS?

En effet, en calculant — , — d'après (6'), on a

bec îki' "*" Sa f-î "*" j^ àï by by ùa oy ùp ^ ' En portant dans (6'), on met cette équation (C) soui

fta bx êp ùa:

6* ey ê^ ùy '

d'où l'on déduit, en éliminant lour à tour ^ et

6p ftp ca; «y

On conclut de laque l'on doit avoir, soit

ù« ^ol

ûx ay

ûPbj

-ir ù 1/

La condition (8') donne l'intégrale générale, coi l'avons vu.

Quant aux conditions (9'), elles donneront pi deux expressions déterminées en a. et y qui, portée donneront une solution

sr = 4-, (x, y)

sans constante ni fonction arbitraire. On donne à cet le nom à'inlégrale singulière.

0H8 GHAPITBB XV

Ainsi, en dehors de F intégrale générale^ l'éqwUion proposée (l) ou{l) n admet qu'une solution singulière, que Ton trouve d'aillears en éliminant les constantes a e/ p entre l'intégrale complète et les deux équations qu^on obtient en différerUiard cette intégrale complète successivement par rapport à x et à y,

555* Exemples :

1^ Soit à intégrer l'équation

Le système (43) est ici

dx dy fl[£ dp û[j

Une intégrale suffit ; nous prendrons q ^= ol d'où /> = ? W, et il reste à intégrer Téquation aux différentielles totales

dz — ç («) dx — fxdy = 0

ce qui donne Fintégrale complète

^ = a7<p (a) -H ay -h p.

L'intégrale générale s'ensuit en posant ?= + («) et adjoignant à réquation précédente la dérivée par rapport à «, elle est donc constituée par le système

0 = a7cp' (a) -f. y H- 'i^' (a). (55)

La surface, dont l'équation en x^ y, z^ résulterait de réliraination de a entre (54) et (35) est Tenveloppe du plan mobile représenté par l'équation (54).

2** Soit à intégrer

^ — Kp(? = 0 (56)

où K est une constante donnée.

ÉQUATIONS AUX DéRlVÉES PARTIELLES DU PRBMiER ORDRE 689

Le système (45) est ici

dx dy dz dp dq

R^ Kp ^^ 2Kpq p "^ q

Une intégrale suflit; nous prendrons celle

qui résulte de la comparaison de la première et de la dernière fractions. On a alors

et par suite

T zdx X — a I

dz = -~^^-^d^^

L'intégration de cette équation aux équations difiérentielles totales donne Viniégrale complète (n^ 550)

OÙ a et p sont les deux constantes arbitraires.

On obtient Viniégrale générale en posant p == (p (a) et en adjoignant à Téquation précédente sa dérivée par rapport à a ; cette intégrale générale est donc constituée par le système

Kir = (a? — a) f y — o (a)] 0 = y — ? (a) -*- (^ — «) ?' («)

L'intégrale complète représente un paraboloïde hyperbolique ayant pour sommet le point («, p, 0), et, quant à l'intégrale générale, elle représente Tenveloppe des paraboloïdes en supposant que leurs sommets décrivent I& courbe

Il y a une solution singulière 5 = 0 ; on l'obtient en élimi-

Caiccl iKpimiisiMAt 44

nant a et p entre la relation (57) et ses dérivées par rapport à

a et p. ' ' •

Remarques

" 556. Nous n'avons considéré que le cas de deux variables indépendantes ; c'est le cas le plus important 'au point de vue des applications géométriques.

Dès que le nombre des vSiriables indépendantes surpasse dei^oc^ la méthode se complique beaucoup. Toutefois, la marche que nous avons suivie (h** 553) pour passer d'une intégrale complète à l'intégrale générale subsiste quelque soit le nombre ji des variables indépendantes.

Soit

F(9,, q^ qny z, PpP„ i3„) = 0 (58)

une équation quelconque aux dérivées partielles du premier ordre ; q^, ^j, ... ç'nSont les variables indépendantes z^ la fonction et/3j, Pj, ... p„ les dérivées

Soit, en outre, • • -

f{q\, ^2' 7n» ^^ ^u «i. an) = 0 (n9)

une intégrale complète de l'équation (58). On regardera l'une des n constantes a,, ff^,... a„, la demière.fln par exemple, comme une fonction des n — 1 autres; en d'autres termes, on posera

L'intégrale générale de l'équation proposée (58) résultera de Télimination de oj, a^, ... a„^^ entre l'équation (59) et les dérivées de cette équation par rapport aux paramètres

ûj, a.^j ... Cln—i*

557. Dans la théorie de l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre et, en particulier, dans la méthode de Jacohi que nous exposerons tout à Theure, il est souvent avantageux et parfois nécessaire de remplacer le typé général

F(â^i, <?«>^»Pi, Pn) = 0 (60)

par le suivant

?(^l. qn,Pt />n) = 0 (6i)

où ne figure plus explicitement la fonction inconnue z* On y parvient par une transformation très simple mais qui introduit une variable indépendante de plus.

En effet, représentons sous la forme implicite

T(?i. <?.. qn,z) = 0 (62)

rintégrale z de l'équation dliléi-entielle (58)

En diiïérentiant (61) successivementp^r rapportait, g,, ...^n, on a

fty, + w ''♦ "• ôg, ^ ôz P" — "•

d'où Ton tire

Eu portant^ceà valeurs dans (38)- on obtient Téquation

iijS

qu'on peut écrire

Soas cette forme on voit que cette équation (62) qui remplace l'équation différentielle proposée (58), contient les n + 1 variables indépendantes ^,, ... g», x, et les dérivées du premier

ordre ^» ••• ^ * vl * m^iis où t ne figure plus explicitement.

Intégration du système de ni équations aux dérivées partielles du premier ordre d^one fonction de n variables indépendantes.

(Méthode de Jaeobi).

558« Enoncé du problème :

Trouver une fonction \ de n variables indépendante q^, q^, ... qn, étant données m équations (m < n) distinctes

fà (7if ^i> ••• 9nf Pif Pt7 ..• f>i.) = 0 f

enlre ces variables et les dérivées partielles

dV *V . ftV

La fonction V n*entre pas explicitement dans les équations

Ces équations (63) donnent m des quantités p^, ^,, ...p.^û fonclion des (n — m) autres et des variables q^, q^, ...g,. H s'agit donc de trouver, entre p^, p„- ... p„, q^, q^,... qn. (»— w) autres relations telles que, si Ton tire de ces équations jointes aux premières les valeurs depj, p^, ... p„ et que Ton substitue ces valeurs dans Texpression

dW^Pidqi -i-Pidq^-^ ... -h Pndqn,

le second membre devienne un^e différentielle exacte. L'inléi^ralion de cette expression donnera alors la fonclion Y.

Aquatioms aux dérivées partielles du premier ordre 693 550* Conditions d'intégrabilite. Soient

^ (^l» 9it ••• Çnf Pi, Pgy ... Pn)

deux* fonctions quelconques des quantités g^ g,, ^. qn^Pi^p^^ ... p„. On nomme crochets de ces deux fonctions l'expression

ôF

»îa'

ft*

ft;;,'

»Pa

et, l'on 'désigae habituellement cette somme de déterminants par [F, *].

Par exemple, si l'on a .

• F = gî -h îî -h pî + pî .et * = op, g, -h ôp, y„

on a

2?i, api

2p^, aq^

aaCîî-pî)

Hil-PÏ)

Il importe de remarquer que si l'une des fonctions, * par exemple, se réduisait à une constante, le crochet serait nul. Ainsi, Ton a

[F, con8t] = 0 et [F, O] = 0.

560. Ces définitions étant établies, voici un théorème important:.

Pour qu^un système de n équations distinctes

soit tel que les valeurs de pj, p,, ... p« qu'on en déduit rende Fexpression

Pi dqi -+- Pt dq^ -h ...-+- Pn dq.

une différefiitielle exacte^ il faut et il suffit que les cr<h chets de toutes les combinaisons deux à deux des fonctions F^y i^j, ... Fn soient nuls, soit identiquement ^ soit en vertu des équations (65).

En effet, soient F et * deux quelconques deis fonctions F^, F,, ... F„, et/pour Itbréger les écritures, supposons n = 3.'

En dîfféreniiant les équations

par rapport à y,, on a ' • •

• d*où, en multipliant la première par— et la seconde par — , et retranchant,

' ôF ô^ ^ ^ /^'^ ôF ô* \ dp,

/ôF 5* , £F ^\ ôp.

En opérant par rapporta q^, puis|)ar r^pf ort à ^^ comme nous venons de le faire pour q^, on aurait

dF &* ^ ^ /^ ^ ^ ^\ 32i

^ '^ "~ ^Pi ^a "" Wi ^Pt ^1 ^/ ^

ôF b* 5F ^ Y^ ^ ^ ^\ 5£i

^t ^8 "" ^ ^ "" \ôPi Î^Pa "*" ^Pa ^1/ ^3

/ ôF ô* ôF 5<l> \ apg

"*" Wi 2>Pa "^ î^Pa î^t/ ^3

Iquations aux dérivées partielles du premier ordre 695 L^addition «des trois équations précédentes donne . . .

„ àF ô4> (

ôF ô* ôF ô* ôF ô* (

ôF 5* (

^Pz ^Pi ( bF ô* C

c'est-à-dire

■ ôF

8pl

ôF

. 6Pl

.bF

Sous cette forme du crochet, le' théorème est évident.

D*abord, la condition est nécessaire; en effet, sipi^ p,,^, ont , des valeurs telles' que jo, âq^ 4- p^ dg^-^ Ps dq^ soit une diflérentielle exacte, tous les éléments de la première horizontale sont nuls ; done le crocket e0t nul.

En second lieu^ la condition est suffisante. En effet, si le déterpainant précédent et ses deux analogues, sont nuls, on aura trois équations du premier degré et homogènes entre les trois éléments de la première ligne horizontale ; le déterminant

oF.

6pi

ôp,

ôF,

ôF.

bF,

ôft

?Fj

ôF,

ôpj

sera le déterminant formé avec les coefficients de ces trois éléments iktns les trois équations; il est d'ailleurs différent

CHAPITRB XV

de zéro, sans quoi d* après un théorème connu des déterminants fonctionnels, les fonctions Fj, -P,, F, ne seraient pas distinctes ; donc il faut que les trois éléments considérés qm jouent les rôles des inconnues dans les trois équations homogènes soient nuls.

SOI. 11 importe de voir à quoi se réduit le développement du crochet [F, *] quand F et * ont quelques compositions spéciales . •

1'^ Supposons qu'on ait

F = F (çt, 9,, ...^«*Pf4 i»p, + s, ...p«)

*=Pi— <p(î„ ^2. — 9n, Ps -{ if Ps + i. - Pn)

I étant inférieur ou égale à s. On voit alors^ sur Texpressiou générale (63) du crochet, que tous les déterminants relatifs à

a= f, 2, ... t — f, 2-hf, 14-2, ...«

sont nuls ; car, pour toutes ces valeurs de a, la deuxième horizontale a ses éléments nuls; de plus, pour a.= î le déterminant se réduit à

ôF

ou à

On a donc, pour la valeur réduite du crochet,

ôF ô(p

ôF

ôF ^f

2^ Soient i et k deux nombres tels que Ton ait

t < A. k<s et considérons les formes particulières

Oa aura dans ce cas

' Ji'*-