Soit, par exemple
/dx
Posons
X = sîn /, dx = CCS tdt.
L'intégrale devient
On a donc
/ dt = t =
/dx
arc sm x.
arc sin x^
ce qui était un résultat connu.
Considérons encore l'expression
xdx
On pose
œ^ = t d'où 2xdx = dl,
et l'intégrale devient
1 r dt __ 1
= ^j arc tang t.
On a donc
XCLX 1 ( n
DES INTEGRALES INDÉFINIES ^ '25
Soit enlin à intégrer
1= y arc tang.rc?a?.
On posera
dt
X =r- lang t d'où dx =
cos^^
f cos^^
Intégrons par parties
— sin / dt cos t
I = t lang/ — f tang/c]?/ = i tang/ +
Posons dans la dernière intégrale cos / = w, elle devient
- = Lw = L cos / = L -7^
Le résultat cherché est donc
arc tang j; dx = x arc tangor — ^ L(l H- x*) ;
C^est bien la formule du n^ 22.
31. Lalégitimité de la méthode résulte de ce que la différentielle d'une fonction reste la même quelle que soit la variable à Taide de laquelle on l'exprime (I. n^ 68). Mais il y aura lieu, lorsqu'on reviendra aux intégrales définies (qui sont fondées sur la notion de somme), de voir s'il ne faut pas apporter quelques restrictions à l'usage des changements de variables.
Nous nous bornerons, pour le moment, aux indications qui précèdent et nous aborderons immédiatement Tétude des classes <le fonctions dont on sait effectuer Tintégration.
Intégration des rraclions rationnelles
3%. On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes entiers. Dans le cas particulier où le dénominateur est une constante, on a on polynôme entier qu'on sait intégrer puisqu'on sait intégrer une somme (n^ 7) ainsi que Texpression ^'". Comme de plus on sait mettre toute fraction sous la forme
où (> est un polynôme entier et R un polynôme de degré inférieur au degré de B, finalement nous n'avons à considérer
que des fractions de la forme ^~ dans lesquelles nous
supposerons le dénominateur de degré ni et le numérateur de degré au plus égal à m — I . Ou peut évidemment supposer les deux termes de la fraction premiers entre eux.
;i:i* Soit a une racine multiple d ordre s de c x ;
on démontre en Algèbre que, /, l' et V tlant trois polynômes premiers entre eux denjt à deux^ la fraction Jy peni se mettre, par de simples divisions^ sons la furme
J« plus, si le deaîtv de f esl inférieur ao deirrê du /j sera de degré inférieur au degr^ de T et premier F,*de degré intérieur au degré de Y et premier avec \
