Propriété des crochets et TH^dRÈME de Poisson

Si fy <p, ^ sont des fonctions des 2n variables q^, y^, ... j„, Pi» Pj» ••• Pn considérées comme indépendantes , on a identi^ que ment

En effet, si on développe Texpres^ion (70), on aperçoit immédiatement que chacun de ses termes est le produit de trois facteurs, qui sont une dérivée du second ordre de Tune des fonctions et une dérivée du premier ordre de chacune des deux autres fonctions.

Considérons, par exemple, les termes qui contiennent une dérivée du second ordre de /"; tbut revient à démontrer queces termes s^entredétruisent. Or, d'une part ces termes ont Tune des trois formes

a pouvant être égale à p ; d'autre part, les termes de cette espèce proviennent tous de

[?, ['^, n] et de [^, [/•, ?l]

et Ton reconnait avec un peu d^attention que, à chaque terme de cette espèce provenaiit àe la première de ces deux expressions, répond un terme égal et de signe contraire provenant de la seconde.

503. De ce lemme résulte un théorème fondamental dû à Poisson :

>; .*' • « ^r ^ £f-i.r *:-.:ti:n$ de 7 , 7,, ^. -y., p^, p„ ...patelles p . ' i : z. :.==•; f.i;. ^-1 oat'^^ F équation liuécdre aux dé- ^ :--^- :'f,-r-^.*'?t rf* r'i'^i^r ordre

f* • :-^ ./ *^ U *: .:;t:.a inconnue. Si /, «/ wwe solution de

.'-;*.c:*.* T! . f^rpresficH '/^, /.] jey» 9mentmveil€ solution

Là r-f' " ■^A.ar**^ T ! .- â cc«&-i:ûoB toutefois qee cette expressioQ

^ réiècse ni à léro, m à iiiie conëtante ni à une

* . :i; L:rs on n'aurait pas une solution nouvelle '^ ""•

Ea t:!!*:, fxrnts I« kmme précédent (n*^ 363), on a l'identité

WL i-jirf »:c^ #vùLe iiTp->ck^se [», i] = 0, [f , /,] = ft, m >r*ii^: a

Il j:if l.-i eirrjne pr^:Î5^nient que, dans le cas où |]'t'»/il n'eslni •it :li. iz.-* zi-*- : z:illr ni c>: asUote, elle est une solulion de (TJ)(*).

* .VI:^ ir:a£ï f^Ti 11 sircLe cias&iqae pour la démonstration du '.it-rr^s* 5» ^>jrïO^ 0:1 p»>amit t parvenir antrement à ^aide d'un ii-frr:3e i..fç-Lrt é. i M. fchJ. théorème d'ailleurs équiTalent â celui i.* ?:^s:2.. ::zizir la c::a4r»* M. Appel comptes rendus, 1901). Voici

<; » .'s: 1-if L'.*.^ -i^ v .V >>5:c-*!r, i7 e^i:^e if e>^ fonctions \^ Xj, ... V*^^»^

e% se * vtt 11^^, 0»< fonctions à. des yariables jt/ sont dovmées par les r e-^uiiions i:ix dfrWes partielles

. iQUÀTlONS AUX D^RIviES PAaTlBbbfiS hV PREMIER ORDRE 699