Problème auxiliaire
Etant données s fonctions {s <. n) de- la fornte
Pi --?i (S'i» ^%y ••• 9inyp,^ij f>*4-»» •• Pn) \ P% — ?2(^1» 9%^ ••• 9n,P$-\-xy P#+8» ••• Pn) (
e/ /e//^j jwe leurs croches deux à deux soient nuls, trouver une fonction F (^^ , g,, ... s^», p# + ^ ii, + ,,... p„) dont les crochets ' avec chacune des précédentes soient nuls.
On a, pour dcterminer F, les équations linéaires et du premier ordre aux dérivées partielles (n<> 561 , 1®)
dt =s n
ôF
ôPt
ôF
ôF
■ ôF
ôF »P.
La fonction cherchée F est donc une solution commune aux s équations précédentes, et il s'agit de trouver une solution commune sr particulière qu'elle soit, en profitant de la forme spéciale de ces équations.
A cet effet, on cherchera une solution particulière de l'une des équations précédentes, par exemple de la première (1') ; soit TDi cette solution ; en substituant »i à F dans une autre des équations précédentes, la seconde (2') par exemple, le résultat de cette substitution sera
rOO
GHAPITRB XV
et, s*ii n'est ni constant, ni nul, ni une fonction de is^ ce sera une nouvelle solution de (T). En opérant sur m^ comme on Ta fait sur m^ ce qui revient à remplacer dans l'égalité précédente r^^ par w^y OU trouvera une nouvelle solution w^ de (!'), et on continuera de la sorte jusqu'à ce qu'on trouve un résultat ^^^ qui soit ou nul ou consianl ou /onction des résultats précédeiiU ^it V3j. •.. ^{1-1 et des quantités q^^ q^, ... ^«qui sont considérée comme des constantes dans Téquation intégrée (l'j; Tune de ces trois circonstances ne saurait manquer de se présenter» i:âr à dt^faut des deux premières la troisième arrivera forcément après un nombre limité d^opérations, puisque le nombre ie$ solutions particulières de Téquation (T) est limité.
Examinons ces trois cas en commençant par le dernier qui comprend les deux autres.
1** Si Ton a o= /* Wj, w^, ... vs^^^ q^, S'a» ••• ?«)> c'est qu alors une fonction quelconque
X(to,, bj,, ... Wj^|, Çj, q^y ... fg)
des mêmes quantités est une solution de l'équation (i')> ^^on cherchera à déterminer la forme de cette fonction ^ de façon à ce qu'elle soit aussi une solution de (2^), c'est-à-dire de telle sorte qu'on ait
dX
ÙO,
îï>a
Cette équation développée donne
Hz
^yr
éQUATiONS AUX DÉRIYÉBS PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 701
OU
ot =s n
dm.
fty,
dm.
ôX
ônT.. £
*ôm
jt-1
on enCn à cause de la formule (71) et de ses analogues
XSf.
bnr,
QTtj.
ôX
dnr
fi-1
Cette équation est linéaire aux dérivées partielles du premier ordre; X est là fonction inconnue; g», w„ ©„ ... w^.^ sont les variables et m^ est une fonction connue de ces variables.
On déterminera une intégrale particulière de celte équation c'est-à-dire une intégrale du système correspondant
dw.
d'équations diflérentielles ordinaires simultanées, soit
cette solution sera une solution commune aux équations (1')
et (2').
2^ si Ton a w^ = constante, = c^y on pourrait opérer
:.^>j CHAPITRE XV
co:iime ci-d*.*5'^us, mais oa voit immédiatement que Tex-
preséion "^x-i — c^q^. est une solatioa commune à{l') et d(2 .
EntiQ. 3* si l'on a «^u = ^> on est dans un cas particoliéi' da
précédent, celui où c est nul ; donc "o^—i est alors une solution commune à [l ) et à (2).
Nous possédons actuellement une solution commune à (1', et à 2 : dés'gnons là par O,, il s'agit d'en déduire une solution commune à (1 ), [2 ) et 3 . A cet effet, nous gtibstUuerons ^.^ à la place de F dans l'équation (3's et le résultat 6, de la sabstitulion, s'il n'çst nul constant ou fonction de 0, sera une nouvelle solution commune à < i'} et à (2 ;. En substituant de nouveau ce r»'^uUat dans 3 ) et ainsi de suite, on déterminera une série de fonctions 6,, 6,, ... 9^ qui seront des solutions communes â (1 et (2), la dernière fonction Op étant nulle, constante, ou fonction de 9^, W ... ^pj^ e\ des quanliiés q^^q^, ... q^ qui sont considérées comme constantes dans les équations intégrées (i et (2 . Si fsz est nul, 6p, sera une solution commune à • \i (2 ) et (3 î. Si %p est égal à une constante c^, cm aura une sctlutton commune à (1') (2) (3). EnQn si ^p est une fonction de 9j, 6„ ... Sp.j et de g,, q^, ... g„ on se proprosera de satisfaire à Téquation (3 ) par une fonction
Ç{6,, e,, ... Op^j, ^j, q^^ ... q,)
et Ton verra qu'il sufGt pour cela de prendre une intégrale de l'équation linéaire
ou du système simultané correspondant ^
i ^ e, Op *•
Ayant une solution commune de (V) (2') (3'), on opérera de la nn''me manière pour en déduire une solution commune â (I ), (2'), (3), (V); êf ainsi de suite. En "continuant de la sorte, on obtiendra finalement une fonction
éonATIONB AUX IiéRIVKBS TABIiBLLES DU FBSMIBR UHDR
qui sera une solution commune à (!'), {2!), ... (s'), c'eatqui résoudra le problème propos(5;
