Voici un exemple : soit le système
Pl =
Ici on a n = 4 et j = 3 ; il est d'ailleurs aisé de consl l'aide de la formule (68) du n* 361^ que le» crochets i fonctiouB'deux àdeuxsoat nuls.
-Les équations (!'), (27, (3') son!
avec
— -Zlil
avec
= 2iJ&
Pi
«F ftF
avec
^!Ms
ap, «p.»?,/
ou, en effectuant;
""5?,+ '■'■if,
, SF &F
cF »F
bF
''iS-«'^.^
PrenoDs une intégral» de (76) c'est'à-dire- une intégr système
t/jj dq^ dpj dF
î) ~ çT ~ /»( ~ ''T '
soit m,' = ^.t' cette intégrale.
En substituant dans (71) et dans (75), on trouve 0 Dono& est une intégrale commune à (74), (73), et (76
Nous venons d'opérer de la manière la plus simpl . poiirrait, pour lavoir une application plus compléle dei cipes qui précèdent, procéder comme il suit;
704 GHAPITRB XV
L'équation (74) répond au système différentiel
dq^ dq^ rfF
on déduit' de là
ïlîl q — q -r- coast, F = const
d'où
F = fonction de q, *- 2L&i!? .
On a donc une intégrale de (74) en prenaat
Pi En portant dans Téquation (73) on trouve
ni, = *■
qui n'est pas une solution nouvelle.
Une fonction quelconque X de q^^ g„ m^ sera encore une solution de (74); déterminons cette fonction X, à l'aide de Téquation (7.3), qui se réduit ici a
^ ôX ôX
le système correspondant est
dq^ dq^ d\
TT r-^ — 0
qui donne la solution X=cjp^2 ; on constate aisément que cette solution qui est déjà commune à (74) et à (75) satisfait à (76). Donc enfin
Pi est une intégrale commune aux trois équations proposéi^s.
ÉQUATIONS AUX DiRIvifiS. PARTIELLES pU PREMIER ORDRE 705
Problème définitif
506« Nous sommes actuellement en mesure de résoudre le problème posé au a"" 558 et qui est le but final de cette étude.
On commencera par résoudre les équations données (62) par rapport à pi, p,, ... p^ c'est-à-dire par méttre'le système proposé sous la forme
Pi -^4'l (îil S'a» ••• ^n, />»! 4- M P»i + jt "*Pn) = 0 j /^S — 4'» (S'i» 5^ï» ••• înj/'m + i, Pm 4-1, ... Pn) = 0 /
Pm — 4'm(^i.3'a. ... Çny Pm + pPin + jj ...l>ii) = 0 ,
P'après ce qui a été dit au n^ 560^ pour que le système (76) soit infégrable, c'est-à-dire pour que les équations (76) aient une solution commune, il faut et ilsufCtqu'on puisse leur adjoindre 72 — m relations entre ^,, q^^ ... çr„, pm+ nPm-i-a» -•. Pn telles que les crochets deux à deux des premiers membres de ces n relations soient nuls,^âoit identiquement^ soit en vertu de ces n équations elles mômes.
Donc en particulier les crochets des premiers membres des équations (76) pris 2 à 2 doivent être nuls soit identiquement, soit en vertu des n — m relations cherchées ; car, ces crochets ne contenant aucune des quantités p,, p,, ... p^, il n'y aura pas à faire intervenir les m équations proposées (76) pour voir s'ils s'annulent; ils doivent s'annuler soit identiquementi soit en vertu des n — m relations nouvelles.
Si les crochets relatifs aux équations (76) s'annulent identiquement, le système (76) sera tont préparé pour les calculs ultérieurs et nous expliquerons tout à l'heure ce qu'on en fera (n^ 567).
Si tous les crochets relatifs aux équations (76) ne sont pas nulsidentiquement^ ces crochets effectués donnent des expressions composées avec
^1» S'î» ••' Çn* Pm + l» Pfn 4- i> .•• Pn Calcul «nKiTésiMiL 45
7»» ... COAPm» XV •
A lors, si dans Tua de ces crochets les quantités p a entrentpas, c'est-à-dire s'il n*y Ggure que les variables q^ le problème proposé sera impossible ; car l'annulation de ce crochet entraînerait une relation entre les variables q^, q^, ... g„ qui dès lors ne seraient pas indépendaotes comme on }*a supposé.
Mais si Tun de ces crochets contient une ou plusieurs des quantités p, on aura^ en égalant cette expression à zéro, ane équation
qui doit être vérifiée en vertu de« n — m relations cherchées. On pourra donc prendre cette relation comme l'une des relations cherchées que Ton adjoindra au système (76) après ravoir résolue par rapport à l'une des quantités pm^i^Pm^v —P». par exemple par rapport kp^^^ dont on portera la valeur dans les équations (76).
On aura alors, au lieu du système donné (76)^ un uouveaa svslème
Pi il \lf Qi3 ••• ?»» P-i 4- 81 Pm + i» ••• J'») = 0 \
Pi Ti ('^l, 9i' ••• ^itt P»4-t. Pm + 3, •.. P») = 0 1
P« 'r-t Wl- ?!• ••• 9n» Pm^i.Pm^s* '" Pn) = 0 l
P'» ^ I — ^-m -K , (îxi ?2» — ^n, Pm -{-i^Pm-^- 3* ... PO = ^
sur lequel on recommencera à opérer comme on vient de la fdlp.* sur le système (76).
Ainsi, on formera tous les crochets deux à deux du svsteîiie {"\ ; leur expression aura Tune des trois formes
S'ils sont tous de la première forme, c*est-à-dire égaux à zoro, le système sera préparé. Si Tun deux est de la seconde forme, il y a impossibilité. EnGn^ si un crochet est de la troisième forme, on l'égalera à zéro et Ton aura ainsi une
EQUATIONS AUX DÉRlvéSB PARTIELLES DU PREMIER ORDICB 7Û7
équation aouvelle qu'oa adjoindra aux précédentes (77) après» l'avoir résolue par rapport à ^ ^. ,. et avoir substitué sa valsao dans (77) ; on obtiendra de la -sorte un nouveau système
Pi — 4'i (îi. q%f ••• 7»> Pm + s» ••• p») = 0
1>2 — 'l'fCS'l* 9W ••• î'n» Pm + 3» — Pn) =0 . Pm + 8 — 'î'ip + a (î'i» 9j/--- î'ifPm+s» !•• Pn)=^0
On opérera sur ce système comme sur les précédents et l'on continuera de la sorte (à moins qu'on ne tombe sur un crochet qui soit fonction seulement des quantités g, ce qui dénoterait une impossibilité) jusqu'à ce* qu'on trouve un système cle n équations. Alors, si les crochets des n équations sont tout, nuls, le système sera préparé. Mai?, si les crochets *ne sont pas tous nuld, il y aura encore impossibilité; car, en combinant avec les n équations l'un de leurs crochets non nul et éliminant p^, p^, ... p^ on arriverait à une relation entre les quantités q^, q^, ... q^ seules, qui par suite ne seraient pas indépendantes.
Donc, en dernière analyse, si le problème est possible, on parviendra à un système tel que le système (A) du n^ 564.
567. — Cela posé si 5 = «, le problème sera résolu; on portera leâ valeurs dep^, />„ ... p„ 4|ins l'expression
qui sera une différentielle exacte et dont l'intégration donnera z avec une constante arbitraire ajoviée a z.
Si s est < n, (il ne saurait être plus grand, par hypothèse) on appliquera au système (A) la solution du problème auxiliaire (n** 564), ce qui fournira une fonction • - • • -
'F (îi» S'j» ••• (?»»P» + t' ••• P«)
dont le crochet avec chacune de celles du système (A) sera nul. On adjoindra donc aux équations du système (A) l'équation nouvelle ■ • . *
OÙ s, désigne one constante arbitraire ; après Favoir résolue par rapport à />«^|, on portera la valeur de pt^t dans les équations (A), et l'on aura un système nooveau
Pi — *^i (?l. 7l» — ?"• P» + f» — Pn = ^ ]
Pi -^ «^1 (7i. îi' ••• 9«' Pt + 1. -. Pm) = 0 (
sur lequel on recommencera tout, c^est-à-dire sur leqnel on opérera comme sur le système (76).
En continuant ainsi, on arrivera Bnalement à un système de 71 équation:*, d'où Ton tirera les valeurs de/),, p,, ... p^ avec des constantes arbitraires, et qui seront telles qu^en les portant dans
ih = p, dq^ -H Pj dq^ -h ... 4- p.rfç»
on ait une différentielle exacte. En Tintcgrant on aura IJinconnue z à laquelle on ajoutera une constante arbitraire.
