Exemple

Soit le svstème •

PiP; — ^1^3 = 0;

on le met sous la forme

* Pz * Pi

dont le crochet f n*> (561) ] est

'^Qi ^j W3ÔP3 ^Pz^iJ Wi^^* ^Pi^^*/

avec

ÉQUATIONS AUX DiRIvésS PARTIELLES DU PREUISR ORDRE 709

ce crochet est donc

0 = - & - »-' + 11' — î'Ji -o) + lo- -t'ii ti] Pt P. VP* Pi / \ Pî Pj

0 = ?! îl ?i<'^i ^ îcitlij ,

p. P4 PiPÎ PlP.

0=P»PÎ?i — PÎPWs — îl?lî»P. -I- îlîtîlPa p. Î.P! — (p! Si + ?. «. ».) Pi + »f «I «1 Pi = »

p!?i + g.g.g.±lp!?. -gi?.g.).

de là les deux valeurs

On a donc les deux systèmes,

Prenons le premier système. Il est aisé de constater que crochets de ses équations deux à deux sont nuls ; le systè est donc préparé et il faut lui appliquer te problème auxilia (a" 364) c'est précisément l'exemple du n" 565 ; on trouve pi intégrale commune aux trois équations

OÙ a, désigne une constante arbitraire ; après l'avoir résolue par rapport à p«+|, on portera la valeur de p,^^ dans les équations (A), 6t Ton aura un système nouveau

Pi — ^i (î'ii ^1» ••• ^«t» P«+ 1» ••• Pn) = 0

sur lequel on recommencera. tout, c'est-à-dire sur lequel on opérera comme sur le système (76).

En continuant ainsi, on arrivera finalement à un système de n équations, d'où Ton tirera les valeurs dep„ p,, ... p^ avec des constantes arbitraires, et qui seront telles qu^en les portant dans

dz=Pi dq^ -+- p^ dq^ -+- ... 4- Pndqn

on ait une diiTérentielle exacte. En l'inti^grant on aura IJinconnue z à laquelle on ajoutera une constante arbitraire.