L'équation

est célèbre dans l'histoire des Mathématiques ; on la re à propos des cordes vibrantes, des tuyaux sonores et Théorie de la Chaleur. « C'est Dalembert qui, le pre ( considéré celte équation et en a donné l'intégrale c< • avec deux fonctions arbitraires ; il a fait voir de plu

c ment les foociioDS arbitraires se déterminent au moyen des « conditions relatives aux points extrêmes de la corde ainsi •« qu'à l*élat initial, et comment une discussion détaillée des € formules conduit ensuite à reconnaître le caractère pério- « dique et toutes les circonstances du phénomène physique « auquel Féquation répond. Pkr cette application capitale, c Dalembert a montré toute retendue et toute Timportance c< du Calcul aux dérivée^ partielles alors à sa naissance et à c peine connu et défini ^ O- Dalembert écrit d*abord l'équation (I) sous la forme

qui exprime la condition pour qoa l'expression

soit la diiférentielle exacte d'une fonction de :r et de y.

Posant alors

-^ dû? -+- a» ^ c?6 = dUy.

et remarquant que Ton ^ déjà

-ft rfO -i- - dx = dz.

le célèbre géomètre obtient

(sf "^ "^ Sï) ^(^ "^ ^^^ = d{u H- aj),

d*où il conclut que

ôï -^ *» ôi ^' « + *''•

C) LiouviLLE, note VII de la 5* édition de l'Ouvrage de Mongk inti* tulé : Application de l'Analyse à la Géomélric.

» EQUATIONS AUX DÉRlvésS. PARTIELLES' DU SECOND OBDRB 1fl9

sont des fonctions dex -¥- aO.

Gomme on â pareillement -

sf-«S)^(^-^®) = ^(^"-^^)'

on voit que

bz àz .

-T — a -- et u — az.

sont des fonctions de x — aO.

On a donc à la fois

w -t- a^ = «Pi (a? -t-*a6), u — az = ^^[oc — a6),

et, par suite, en retranchant et divisant par 2 a,

4r = <p (a? 4-' aô) -t- 1]^ (a? — «6). (2)

\. Il restQ, à déterminer les deux fonctions arbitraii^es

? et 't.

A cet effets commençons par indiquer' la signification de chacune des lettres qui entrent dans Kéquation (i).

A et B étant leÀ extrémités de la corde vibrante, désignons par AX, AY, AZ, trois axes de coordoi^nées rectangulaires ayant le point A pour origine ; A5Ç. est d*ailleurs dirigé i^uivant AB. .

La corde vibrante est supposée se déplacer dans le plan ZÀX^ et z désigne l'ordonnée^ à Tinstànt 6, du point M dîe la courbe dont Tabscisse est x.

Cela posé, la fopctioa cherchée z doit non seulement satis*faire à Téqliation (2), mais encore remplir des conditions de* deux sortes : 1** les conditions initiales^ qui expriment que Ton connaiti à Torigine du temps (ft = jO); pour chaque valeur

de or, les valeurs de ^ et de -g^, c'est-à-dire la position initiale ^

de la cofde et les vitesses initiales de ses divers points. — 2^ les conditions aux limites qui expriment que :^ est nul, quel que soit 6, aux points A et B.

'2!i CHAPimE XVI

S7Y. Considérons d'abord les conditions initiales.

>Oll

poar 4 = 0. En introduisant ces conditions dans Téquation i2) et dans la dérivée

'- = a^' (c -T ah — aV {x — a^j

par rapport à ^^ on obtient

?' ic^^ - y (ce) = \ /-<..). (3,

Mais, en intégrant cette dernière par rapport à or et posant

- I f,{x)dx =

on a ' •

D es lors, cm déduit de (4) et de (7)

o{x) = \lr{a:)-^¥{x)-^C'\ (8)

Par suite, en remplaçant x par x -h aB dans (8) et par ar -*- ûô dans (8% puis faisant la somme, on aura, d'après (2),

z = ^ [/{a: -t- ûO) -h / (a? — a6) -i- F (a? -h aO)'— F (x — aO;], ' où la coftstante C n'entre plus.

Il importe d'observer que les fonctions tp (x) et ^ (x) déterminées par les relations (8) et (8') ne sont eonnues, comme d'ailleurs f{x) et F (j:), que pour des valeurs de x comprises entre o et /. Pour déterminer <p (x) et ^ (x) au delà de cet intervalle, nous allons faire intervenir les conditions au limites.

• 578« Au point A, z doit être nul quelque soit 6 ; on doit

donc avoir à tout instant

? (ae) -+■ <K— a6) = 0 è'est-à-dire

en posant a6 = u.

Au point B, on doit avoir à tout instant

D'ailleurs (p(f^) et ^ (u) sont connues {n9 577) pour toutes lesvaleurs de u appartenant à Tlntei-valle {o^ /).

Mais / — ti se trouve comprise aussi entre o et l; donc ^ (/ — u) est connue dans Tintervalle {o, t) ; et, comme on a, d'après (10),

tp (^ -H w) = — ^/ (; — u),

l'expression «p (/ H- a) est connue pour les mêmes valeurs de M. Donc, si l'on pose / H- m = r, <p (u) sera connue pour les valeurs de t; appartenant à l'intervalle (/, 2 /) ; mais, cette Ibnôtion f (v), étant déjà connue dans l'intervalle (o, /), le sera entre a et 2 /.

Cela posé, en remplaçant dans (10) u par / + >/> on a

et comme ç (w) -t- 't ( — u) = 0, on aura,

tp (2 / -t- u) = © (w),

Calcul iRFiKiTisiifAL 46

On conclut de là que la fonction 9 {u) esi périodique ^i que sa période est 2 /. Cette fonction sera donc connue poor tovtes les valeurs, positives oa négatives de x, puisqu'elle Test daas Tintervalle (0, 2 /).•

Considérons maintenant la fonction ^. On a

, 4^ (— w) == — ?. (tt), et, par suite,

4; (— 2 / — w) -h Q (2 ; -f. w) = 0. Mais

donc

Dès lors si Ton pose

•on aura

.La fonction '^ est donc périodique et sa période est 2/. La discussion précédente inqntre que, lorsque a^ augmente d'une quantité égale à 2/ c'est-à-dire lorsque 0 croit dune

quantité -égale à —, l'ordonnée z et la vitesse ^ reprennent

les mômes valeurs. Donc, la corde exécute une suite de vibrations qui sont égales entre elles et isochrones et dont la dur^e

57p. Quelques années après la publication du Mémoire de Dalembert, Euler donna, poqr intégrer Féquation (1), une méthode fort élégante fondée sur un changéïnent très simple des variables indépendantes.

En posant

u = X -^ a^, V = X — aO,

on a successivement

et (le même

— = fl' /^'-^ , iî^fi ^ ''^■'\

La sQbstitution de ce» valeurs de ^ et de ~ dans I (1) donne

c'est-à-dire

ce qui prouve que -■- ne dépend pas de u mais dépei ment de t-, La fonctions est donc de la forme

? (w) + ^' (v) et l'on a Onalement

c'est le résuUat déjà trouvé au (n° 573).

Rfiuntion de Lnpiace 580. Ou nomme ainsi l'équation

18 laquelle «, p, y. ^' ^OQt des fonctions des deux variables épendantes x et t/.

n l'on pose

luation(H) devient

Cela posé, considérons le cas où A = 0. L'équation précédente se réduit alors à

si l'on y considère y comme constante, c'est une équatioa férenlielle linéaire et du premier ordre entre s, etj-jon ra donc en l'intégrant

r r.f^.fe++(.v)i (15)

^(y) désigne une fonction arbitraire de y. On a de même, en intégrant (12) par rapport à y,

, = e-Z'^y / e""' z,dy+f (x) (16)

a(^) représente une fonction arbitraire de x.

igUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE 725

En substituant dans cette expression (16) l'expression (15) de Zi^ on obtiendra pour Tintégrale z l'expression

9 {ùd) -h e

e^idxi (17)

OÙ P et Q désignent respectivement / oidy et / pdx et qui

renferme une fonction arbitraire de x et une fonction arbitraire de y.

Supposons maintenant A différent de zéro. L'équation (14) s'écrit

et, en formant —, puis portant z et — dans (12), on obtient, pour déterminer Zi l'équation

ôy

où «), p,, Yi. «!> ont les valeurs suivantes

ïj

J[ôA Aôy

= A--5---i--f^-hctp

L'équation (18) est de même forme que la proposée (11) ; on

la traitera de la même manière.

Des considérations qui précèdent résulte cette proposition : Suivant que A est nul ou est différent de zérOy V équation

{\V) s^intègre ou se ramène à une autre de même type.

726 CRAPmK XVI

En permutant, dans Téquation (11 >, j- et s avec y et ^, pais posant

on peut dire encore : suivant que B est nul ou différeixi de zéro, r équation (if) SAnt^gre ou se ramène à une autre du m'orne type.

Depuis Laplace, IVquation (11) a été l'objet de remarquables travaux parmi lesquels il faut citer principalement ceux de Moutard (Journal de fEcole Polytechnique) et ceux de M. Darboux (Leçons sur la théorie générale des surfaces). Mais l'exposition de ces recherches, importantes surtout au point de vue théorique, nous entrainerait trop loin.