Soit réquation

Ar -T- 2B5 -+- C/ -î- D/) -^ E^ -+- Ff -h G = 0

où A, B, C, D, E, ¥y G sont des fonctions quelconques des deux variables indépendantes x et y, Euler avait prouvé qu'on pouvait^ par un changement de variables, lorsque B* — AC était différent de zéro, amener l'équation précédente & la forme

i>wor i!U '^ ^v

n sufiit, en effet, de prendre, pour nouvelles variables u et i% deux fonctions de j^ et de y satisfaisant respectivement aux deux relations

dans lesquelles //ii et m^ désignent les racines de Téquation

Am* — 2B»iH-C = 0.

On voit de la sorte comment LAplace a été coaduit i considérer réquation(ll).

lËQtlATlONS AUX D^RIvéES PARTIELLES DU SECON'D ORDRE

Equallon de Liouvillc .

582. Dans ses éludes sur la théorie des surraccs, Lio a rencontré l'équaliou reoiarquable

dont l'intégrale générale est

ç'(m) et 4'(i)) désignant respectivement les dtîcïvées des fonctions arbitraires ç{w) et ^{v).

Ce grand géomètre n'a pas indiqué les considération

. l'avaient amené à trouver celle intégrale. Comme

recherche eslun peu compliqui^e (voir Jordan, Cours et.

lyse], nous nous bornerons comme Liouville à vérifier le

En prenant les logarithmes dans la relation (20), on ob

log X = log (4 a*) + log ç' (w) + log -V {v)

-»-?(«) + +('•)— 2log[l' + «?<"' + + '"'],

2fl?(«')+';-Wy'(»),{,'{t,l

et enfin, à caufc de i