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DES INTEGRALES INDEFINIES 27

résulte qu'en tenant compte de la valeur de o(x) on pourra écrire

La dernière fraction pourra être décomposée de même, de sorte que la fraction proposée pourra s'écrire

le signe ^ s'étend à toutes les racines a de f{x)^ et /*j('^) ^^^^

un polynôme de degré a — 1 .

Maintenant la formule de Taylor donne

(^. - a)ac-i ^^ ■^ (a— 1)! ^* ^W»

et par suite

Dans cette égalité quelques-uns des numérateurs peuvent être nuls, mais le premier est nécessairement différent de zéro,

parce que /i(.r) est premier avec {x — df en vertu des hypothèses faites.

Finalement la fraction est une somme de fractions du type

(ay ~ aV* ®^ ^^^ intégration est immédiate ; on aura

^^ rfa; = y ^''- , !-— : + y A, log [x - a). (24)

Dans Tégalilé (24) , le signe ^ *^^*^ s'étendre, pour une racine

p a, à toutes les valeurs de Texposant p de 2 à a, et aussi à toutes

les racines a de ^[x) ; le second signe T^ s'étend aux racines a.

34. Le nombre Â^ s'appelle le résidu de la fraction relatif au point a.

Dans le cas où toutes les racines de <p(x) sont simples, ce résidu peut se mettre sous une forme remarquable qu'il est utile de connaître. On a en effet :

tifi ^ A + „1l 4,... (25)

Multiplions les deux membres par x — a et écrivons ainsi

Si X tend vers a, l'égalité devient

c'est la valeur du résidu.

En reportant cette valeur dans l'égalité (25) et chassant les dénominateurs^ on obtient une formule

r(^)^r(fij(^ + m ^ + ..., (27)

connue sous le nom de formule d'interpolation de Lagrange. Elle permet d'écrire un polynôme de degré m — 1, connaissant les m valeurs numériques /(a), f[b),., prises par ce polynôme lorsqu'on donne à la variable x les m valeurs arbitraires a, 6,... En effet l'on a

et les quotients ^~^, —^••- sont des polynômes entiers entièrement connus ;

Signalons encore une formule importante relative au cas où le degré du numérateur f{:r) de la fraction est inférieur de deux unités au moins au degré m du dénominateur. Il faut alors, dans l'identité (27) que le coefficient de x"''^ soit nul, ce qui entraine la formule cherchée

Donc, si le degré du numéraleiir dune fraction est inférieur de deux unités au degré du dénominateur y la somme des résidus relatifs aux pôles de cette fraction est nulle. (On appelle pôles d'une fonction, dans la représentation géométrique dos valeurs de la variable (I. n^ 258), les points pour lesquels la fonction devient inGnie).

^5. Dans les développements qui précèdent, nous n'avons pas distingué les racines réelles des racines imaginaires. En se reportant à la formule (24), on voit que Ton n'éprouvera de dif6cultés que dans les termes logarithmiques ; pour les autres en effet ils seront, ou réels, ou imaginaires conjugués deux à deux et la somme de deux imaginaires conjuguées se met facilement sous forme réelle. A la vérité, si a est une imaginaire de la forme a + pt, on a vu (tome I n^ 269) que

log (.^ — a) = 2 log' \{pG — a)*4-P'] -\- i arc tang ^^^;

et, comme à l'imaginaire conjuguée a — ^i correspondra le coefficient imaginaire conjugué de A^, les deux termes correspondants dans (2i) auront encore une somme qu'on débarrassera facilement des imaginaires.

30 CHAIMTRE l

Mais cette manière de procéder est longue et pénible. 11 vaut mieux ne pas introduire les imaginaires.

Soit donc o:^ -^px -i- y un diviseur du second degré de ©(r), correspondant à deux racines imaginaires conjuguées et soit/t son degré de multiplicité ; on aura

et (formule 21)

/*j(j) étant un polynôme de degré 2w — 1 au plus et premier avec oC* -H /7J? -H y. Divisons fx{x) par j' h- ;?j7 h- <?î nous aurons un quotient fj^x) et un reste du premier degré M,i- -f • N, c'est-à-dire que Pon pourra écrire

nx) ^ r,M MX4-N

(a?* -^ px -h q)'*' {x^ -h px -h î)"~* (07'' H- /)X -h ç)'»'

^: On aura de mt^iie

(07* -H px H- (7)"-* '^.r* 4- px H- 7)" "'* [x^ H- px -H g)""* '

etc. On voit ainsi que la fraction proposée conduira à des fractions simples de deux types distincts, et qu'on pourra, a désignant maintenant une racine réelle quelconque^ remplacer l'égalité (22) par la suivante

/(x) __ V ^ZL u V ^ltJL (29)

(5(x) ^î^ (x — ay ^mâ {y- -+- p,v -\- qy '

Nous avons appris à intégrer les fractions du premier type ; restent les dernières. On peut écrire

?} (2.r 4- p) 4- N - J Mp

(./;- 4- px H- qy {.r- -\- 2)X 4- q)'

DES INTEGRALES INDEFINIES 31

d'où

:N - * iip)J^

-h p^r -H qy '

La première intégrale a pour valeur ^^-i^y) (.^.^.^y^...^.^).-! > nous n'avons donc plus qu'à envisager l'intégrale