L'équation considérée par MoDge est
Rr + S» -i- T( = V, (23)
où R, S, T, V, désignent des fonctions de x, y, 2, p, q. En substituant dans cette équalion les valeurs
, dp — idij dq — idx
dx ' dy ■ '
tirée» des relations
dp ^ rdx -(- ady, dq = jrfaj -j- tdy, (^23')
on obtient
Rdpdy + Idqdx — \dxdtj = s [Rrfj/' — Sdxdy -+- Trfx']. (24)
Posons séparément, avec Monge,
Rdy^ — Sdœdy -\- Tdw* = 0 ' " (25)
Rdpdy + Tdqdx ■+■ Xdxdy = 0. (26)
Il est clair que si ces deux équations sont satisfaites idenliqu ment, l'équation (23) sera aussi satisfaite.
En résolvant l'équatîon (25) par rapport à dy, on en à duira deux autres . .
dy = m'dx, dy ^ m'dx,
m' et m' étant les racines de l'équation
Bm' — Sm + T = 0 ; (25")
et, si l'on porte successivement chacune des valeurs de i dans l'équation ^26), on aura les deux systèmes
dy = m'dx 1
Rm'dp -H Idq — Vm'dx = 0 ) ^'"■
dy = m'dx ) .
Rm-dp 4- Idq — Vm'dw = 0 V '"'*
à chacun desquels on doit joindre la relation
dx = pdx -\- qdy. (29]
730 CHAFITRB XVI
o86« Cela posé, nous allons démontrer le théorème suÎTanl : Si
ft t-r- y, 2j p, q) = a, tt {^. y, -, p,q) = h (30) sont deux intégrales satisfaisant au système (27), l'équation
où ^ d^siynp une fonction arbitraire^ est une int^rale inierm^diaire de f équation proposée (23).
La (liiTérentiation des équations (30) donne
iV i>y -^ c»;r dp ^ ^q ^
En y remplaçant rfy, rfy et rfj par leurs valeurs tirées des relations (27) et (29), on obtient deux équations qui, devant être vériGées quels que soient dx^ei dp^ fourniront les relations
ra2
.y, Rm' o/-, (
et les deux analogues en /*,.
Mais la différentiation de l'équation (31) donne
En y remplaçant
dz, '^. 'I^, "ù, !!6. ■
par leurs valeurs tirées des relations (29), (32) et des deux analogues de (32), on est conduit à l'équation
Rm'dp 4- Tdq — Xm'dx = M (dy — m'dx)(i3),
ÉQUATIONS AUX DltRtvées FARTIBLLBS DU seCOKD OHI
dam laquelle on désigne par M l'i-xpression
Si l'on remplace dans l'équation {33} les quautiU par leufs valeurs tirées des l'elalîons (23') ; et, si 1' zéro les coefficients de dgs et de dy, on obtient le sy
Rwi'r + Tj — Vm' + M»i' = 0 Rm's -H Tl — M = 0 ;
rélimination de r et / entre ces deux équations et 1 (23) fait disparaître M, etil reste
s (Rm'' — SW -^ T) ='0
qui est une identité, puisque m' est une racine de (25').
On verrait, par le même raisonnement, que si
A (■*'■ y. -*■- p. î) = "'. f<. {^' y. ^' Pj î) =
jon^ -deux intégrales satisfaisant au système -(28),
o(V -+ désigne une fonction arbitraire, est une intég médiaire de Véqitation proposée (23).
587. La méthode de Monge ne réussit que raren qu'elle est subordoDO^e à la possibilité d'intégrer le (27) et (28) ou au moins l'un d'eux.
Supposons qu'on ait déterminé deux int^ralet diaires (31) et (35). Pour obtenir l'intégrale géi résoudra ces deux équations par rapport k p e\ k t avoir porté ces valeurs dans (29) on intégrera cett qui sera une différentielle exacte.
Voici des eut 1" Soit l'êqoî
Ar -»- B» + C( = 0 m,
il A, B, C sont des constantes; c'est one généralisation de équation des cordes vibraoles.
Les racines de l'éqaatîon (25') sont ici des nombres m, et m,.
La première m, donne les intégrales
>/ — nii.v ^= «,, Aniip -\-Cq ^ a,.
l, par snile, l'intégrale intermédiaire
A>/i,p -(- Cç ^ ç, {y — tn,x^. {37.i
On obtient pareillement, an moyen de la seconde racine ir„ ne autre intégrale inlermédiaire
Am,p -+• Cf = a, [y — m,x . (38
Des intégrales inlermédiaires (37) et (38) on déduit
) posant
f, (y — OT.j Am, (m, — m,)
La substitution de ces valeurs de p elàe q dans réquatiou 'Si) donne
Î3 = (rfy — m, rfij o (y — m, x) — {dy -^ m,dx) -^ [y — m, j).
es [ors, en intégrant et rcprésentanl par *, et *, les fonctions ji ont respectivement pour dérivées les fonctions arbitraires et — ^, on aura, pour l'intégrale générale de la proposée (3^)
2<» Soit l'équation •
pqr — 5 (t -+- p*) = 0 (40)
qui est relative aux surfaces qui odI les lignes de Tune des courbures situées dans des plans parallèles à zQx. On a ici les deux systèmes
dy = ^, pqdp — {i ■+ p^) dy = 0 (41)
dy = — L±^ dx, dp = 0, (42)
Le premier système donne une première intégrale intermédiaire
g = \^i-hp'V(y)' (43)
Le second système (42) en donnerait une autre, mais la précédente suffira, si on applique la méthode de Jacobi pour l*intégratioji des équations différentielles aux dérivées partielles du premier membre. Dans cette méthode, on est conduit à considérer le système d'équations aux différentielles ordinaires
dy dx dp .
Oq en déduit successivement
p = a, q = t/i -4- a} ^ (y), dz = adx -h l/l -ha* '^' {y) dy,
et enfin
• ^ n- «p (a) = aa? -h /l 4- B* tj/ (y).. (44)
L^intégrale générale résultera de Télimination de a entre la relation (44) et la suivante
,; + ^'(a).4--fiâL = 0. (44')
