Soit encore l'^quat

q-ii est relative aax sori peclili-'n''s.

L«s (■■jualions (23) et i

' 'y — y<i^ elles ont pour iati'^'rales

.y=M-, ;)+ay = p, d'où l'un d>^JuiL l'intégrale ialermédiaire px-4rqy = X^ (|).

-CVst un? équation linéaire et da premier erdre qui s'intèfre Èins di leillé. On considère, à cet effet, les équations simni-

dx dy dz

tu - ' ■ -

i-'-j — >j-i^ = 0, dz = dS-o OtY On on déiJuil

et- il fufiit alors de remplacer p' par '^ (i') et a' par ^, pour obtenir i'int-'^rale i;.-nérale de l'équation proposée (43) ; ç et ■> sont deux fonctions arbitraires.

\ Soit ré.|uation

R»- -tî Sï -^ Ti = 0 R, S, T ota.it do< foDctions de p elç seulement.

La transformation de Legendre (tome 1, x\P 113) donne pour r, s, i des valeurs qui, substituées dans l'équation précédente lui font prendre la forme

dq^ àpdq dq^

Cette équation est plus simple que la proposée ; on lui appliquera aisément la méthode de Monge.

Equalion cF Ampère

588. L'illustre Ampère a cpnsaeré deux beaux Mémoires {Journal de l'Ecole Polytechnique^ /7« et 18^ cahiers) à Fintégration des équations aux dérivées partielles du second ordre. Ti a considéré en particulier l'éjquation

Hr* -H 2K5 -4- L« -H M, -4- N (W — s») = 0 (46)

^ans laquelle les coeflicients H^ K, L, M, N sont des fonctions connues de x^ y y z,p, q et qui, pour N = 0^ se réduit à Téquation de Monge (23)r •

Le travail d*Ampère est difQcile à lire à cause delà complication des notations employées. Nous suivrons ici une marche plus simple, indiquée par Boole et qui conduit aux mêmes résultats concernant l'équation (i6). Cette méthode n'est d'ailleurs qu*une généralisation de celle qui a été exposée (n° 585) jpour Téquation de Moj>ge,.

Mais, avant d'entrer véritablement en matière, il est intéressant d'indiquer l'origine de l'équation (46).

Soient m et v deux fonctions données de œ, y, ;;, /?, q. Considérons l'équation du premier ordre

où <p désigne une fonction arbitraire. En difTurentiant succès-

ivemeat par rapp( ioos

>atre lesquelles U suffit d'élimiaer le rapport des dérivées - , ''f- pour tomber sur une équation de la forme (i6).

5S9. Cela posé, considérons l'équation (46) et opéroos l'abord comme au 0° o85, c'est-à-dire substituons dans (iiij les valeurs de r et de < déduites des relations [23'). Xoas obtiendrons ainsi une équation de la forme l — fis = 0 que nous remplacerons, comme au n" 585, par le système

ad/ — 2 Krfx rfy -f- \jdx* -H N {dq dy+dpdjr) = 0 (*') Bdp dy + Ldj rfy + Udx dy + \dp dq = 0. (48j

Actuellement, cherchons à décomposer ce système en d'autrès qui soient HnéaircS. A cet elTet, ajoutons à l'équation {W mulliplii^e par N l'équation (47) multipliée par un facteur indéterminé m. On aura

IIh. rfy' -t- (MN — 2Km)dxdy-hLmdj^ 4- Nm (</r dp -+- dy dq) -t- LN rf-c dq + NH dp dy + N'rfp dq = 0.

qui, si l'on détermine m par l'équation

.«' + 2Km-i^HL — MN,' ' " (49)

devient

{\\(hj ■+- mdx -h Hdq) (jnrfy + Lx + tidp) = 0. (50)

L'équation (49) a deux racines, qu'on peut écrire

jn = — K + V'G, (51)

si ToQ pose

G='K2 — HL-hMN; (52)

on aura donc, au lieu de (50), Téquation

[VLdy — (k =p v^G) dx -t- Ndq]

[idx — (k =p /g) c?y -h Ndp] =? 0

c'est-à-dire quatre systèmes linéaires auxquels se trouve ramenée l'intégration de l'équation proposée (46). Ces quatre systèmes sont

Udtf— (K — ^q) dx -{--Ndg = 0

lldy — (k + /g) dx-hNdq=0 Lrfo? — (k — /g) dy -h Nrfp = 0 hdx-^ (k -h v/g) rfi/ -h mp = 0 Hdy — (k — v/g) dx -f- Ndq = 0 hdx — (k -+- y/ g) dy -^'^dp = 0 lldy -^ (k -1- /g) dx -h Nrf^ = 0 Lrfx — (k — s/g) dy'-h Ndfp = 0

Les systèmes (54) et (55). doivent être cejelés ; ils ne sauraient satisfaire à Péquation proposée (46)^ car ils conduiraient respectivement aux relations • .

(H 4- NO (^^ - «') = 0, (L -h Nr) {rt - s^).

Il ne reste donc que les systèmes (56) et (57) à chacun desquels il faut joindre

dz = pdx^qdy

il est aisé de voir qu'ils satisfont à l'équation proposée, car en éliminant dp, dq^ dx, dy entre la relation (23') et les équations (56) ou (57), on tombe sur (46).

Les équations (56) et (57) sont celles qu'Ampère avait trouvées.

Calcul ii(fiiiit<suul 47

73a CBAPITRB XVI