Exemple Soit Téquation

rt — s* -+- a* = 0

que Ton rencontre dans la théorie mécanique de là chaleur.

On a ici

el l'équation ^51) donne m = ±a; donc les deux systèmes (56 et 57) deviennent

dp -+- ady = 0 ^ dp — ady = 0 j dq — adx = 0 } dq -\- adx = 0 )

On déduit, de là les deux intégrales intermédiaires

g — ffj? = tp (p -i* ay), q -^ €ix=^^ {p — ay)

qui renferment chacune une fonction arbitraire. On passera ensuite comme il suit à l'intégrale générale. ' •Des relations

p-hay = ti ^ p ~-.ay=^

q — ax = t>{oL) q -\- ax = ^ (p)

•on tire

grâce à ces valeurs Téquation

dz = pdx -h qdy

devient ■ - ■ - ■

j- ^ ?M + <.'(#) -(■ + P)?'Wj,

et l'on.aura, en intégrant, ' ■

-iâ *"'' ^'^ '^^ -*" 2â / P*' ^^> ''^- .

On fait disparaître tes signes de quadrature en remplai^â. w(a) et i}(p) par des dérivées, .eç sorte que l'intégrale généra sera exprimée par -le système

L'équation des télégraphistes

•591. On rencontre dans la Théorie de la Télégraphie sa fil l'équation

où A, B, C désignent des constantes et qui a été intégrée f M> Poincaré. Qn peut l'écrire, en choisissant les unités,

et, si Ton pose elle devient

Les conditions initiales sont les suivantes : pour / = 0, U et -

sont des fonctions données de x ; nous les écrirons, en les mettant immédiatement sdus la forme d'intégrales,

e {q) &^' dq

C'—.oo

ce

Oj (q) e'V dq.

L'intégrale de Téquation proposée est alors, comme on le vériCe aisément,

•u = / e"i' e (,j) C08 1 \/^ 7 -1- e, iq) «'" ; JX ~ ' liy

oo

a et p ayant pour valeurs

Nous n'étudierons pas plus à fond cette intégrale ; les ingénieurs que le problème intéresse trouveront cette étude complète dans le Traité des Oscillations électriques de M. Poincaré.

iQUATlONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE 741

Les équations aux dérivées partielles et les approximations successives

502. Ce sujet fort intéressant a été Tobjet des belles recherches de M. Emile Picard, qui a bien voulu rédiger pour notre livre la fin de ce chapitre dont nos lecteurs sauront certainement apprécier toute l'importance.

Dans un grand nombre d'applications, tant en géométrie qu'en physique mathématique^ il importe d'obtenir les inté« grales* d'une équation aux dérivées partielles satisfaisant à certaines conditions aux limites. Ces conditions peuvent ôtre de nature très variée, et on ne peut à cet égard donner d'indi* calions entièrement générales. Dans des cas assez étendus toutefois, l'emploi d'une méthode très usitée en mathéma^ tiques, celle des approximations successives, est susceptible de conduire heureusement à l'intégration de l'équation/ en permettant d'établir l'existence de l'intégrale et de la calculer avec telle approximation que l'on voudra. Nous nous proposons d'en donner ici quelques exemples simples, en énonçant seulement les résultats dont la démonstration nous entraînerait trop loin.

503* Considérons une équation aux dérivées partielles du second ordre de la forme

Asi + 2B — 4 C-, = F(u,-. -,^,y); (58)

A, B, C dépendent seulement des deux variables indépendantes X et y. On peut, pour intégrer cette équation avec des conditions aux limites déterminées, procéder de la manière suivante par approximations successives. Nous mettons dans le second membre une fonction quelconque Ui de x et y^ et nous formons l'équation

742 CHAf ITRB XVI

(en posant, pourïibréger, Au = A ^^ -h 2 B ^ -f- C ^^ j. Con-

cevons qu'on intègre cette équation en »,, en se doomant certaines conditions aux limites qui, nous le supposons, déterminent complètement une intégrale que nous désignerons par 1/4. On formera ensuite Téquâtion

et Ton intégrera cette équation en u^^ en saiisraisani aux mémos conditions aux limites que plus haut, et nous coattniions ainsi indénnimenjb. Si Finiégréde Um,temt vers wie'Umiêe détermànée u, quand n grandit ind'éfinimefii, oa obliendia. ainsi l'intégrale u de l'équation (i) satiriaisaiit aux conditions données.

. Ces généralités n ont d'intérêt qu'autant qn'oii précise ks conditions aux limites, et qu'on se place dans des conditioas où l'on puisse établir rtgocureusemeni la coayergence ie y» Tevs une limite ». Nous allon» esMentîelleitent aii^pofi«f que^ dans la région du plan où reste- le point {^r!f), lu déterminant B^ — AG garde un signe invariable. Uast alots aisé de voir .que notre équation (1) pent alors être réduite aox deos types suivants

pour lesquels les problèmes à poser sonit entièrement diffé-

venls.

• 504. Arrêtons nous df'abord! sur les équations du tyjie (A) et envisageons d'abord le cas le pluô simple de l'équation linéaire

où«, 6, c sont dans une certaine région du plan des fonctions

coDtiDOes de,x-et y. La méthode des approximations successives donne, au point de vue de l'existence et du caicul'des intégrales, la réponse aux principales questions qu'on peut "" poser sur cette équation. Ainsi, st on s6 donne sur un segment! de l'axe des x et sur un segment OB de l'axe des y, les vdlei d'une intégrale z, celle-ci est complètement déSnie dans le r tangle construit sur OA et OB, Un second problème coosi à prendre un arc de courbe MP rencontré au pins une fois | toute parallèle & l'axe .des x ou à l'axe des y, et à se donner

valeurs de z et — spr cet arc de courbe ; une intégrale l'équation aux dérivées partielles sera complètement défi par ces données dans le rectangle MM'PP', elle y sera contin ainsi que ses dérivées partielles d.u premier ordre.

Il est facile de voir que dans les deux problèmes précédei «a pourra utiliser les indications générales données au n" l On aura ici à former l'intégrale z d'une équation de la fori

où/est une fonction donnée de x et y, satisfaisant aux con tioDs de l'un ou l'autre des deux problèmes proposés. ' Pour le premier problème les choses seront particulièremi simples. Supposons que pour y = 0, on ait z = P(x), et c pour X = 0, 2 ^= o(j/) ; on a, bien entendu, f{0) = '^(0). L'in grale-cherc'hée de l'équation (60) sera

n-v, y)d<cdy + ?(«) + it(y) - ?(0).

Pour le second problème, supposons, ce qui, au fond, ne

diminue pas la généralité, que les valeurs données de z et ^,

sur Tare MP soient nulles; l'intégrale cherchée de l'équation (60 , peut se représenter de la manière suivante. Soit A un point de coordonnées x et y. Menons par ce point des parallèles aux axes rencontrant la courbe en C et B ; l'intégrale sera représentée par l'intégrale double

iWÇrfïi

étendue au triangle curviligne ABC.

On pourra donc procéder^ dans les deux problèmes indiqués, par approximations successives, et il ne reste plus qu'à démontrer que ces approximations convergent vers la solution cherchée, ce qui demande une analyse assez longue mais ne présentant pas de réelles difficultés.

505* Les problèmes précédents, notamment le second, appellent quelques remarques qui ne sont pas sans intérêt. Il n'est pas inutile d'insister sur la nécessité de l'hypothèse faite que Tare MP n'est rencontré qu'en tm seul point par une parallèle aux axes de coordonnées. Considérons, en efifet, pour prendre un exemple très simple, un arc MP dont les extrémités soient sur Ox de part et d'autre de l'origine, et supposons que le point S de cet arc où la tangente est parallèle à Ox soit sur Taxe des y.

Si Ton se donne sur l'arc MSP une succession continue de

ÉQUATIONS AUX d£}11v£eS PARTIELLES DU SECOND ORDRi; 7<

valeurs pour z et^,, ou encore, ce qui revient au mômi pour — et '— en se donnant en plus la valeur de z eu S, n'existera pas en général d'intégrale de l'équalion(ô^),coniini ainsi que ses dérivées partielles de premier ordre dans le segme; AIOPS, et répondant à ces données. On aura, en effet, ui intégrale déterminée dans la partie OSP, une aulre intégra déterminée dans la partie OSM ; ces deux intégrales ne se ra cordent pas en général le long de OS,

SOO. Considérons un segment AB de droite parallèle à 0. On ne peut pas, sur ce segment se donner, pour une intégra

::, la valeur de s et celle de '—, car les valeurs de '- sur A sont déterminées*, à une constante prés, en fonction des v. leurs de s ; c'est ce qui résulte de l'équation

qui montre que sur AB les valeurs de - sont déterminées p une équation linéaire du premier ordre. Si donc, pour ui intégrale, ^ est donnée le long de AB, et si !v est donnée i

point A, les valeurs de '— seront connues tout le long de Al Cette remarque peut être utile pour décider dans certains c du raccordement de deux intégrales. Ainsi, soient un segme BB' de l'axe des y comprenant l'origine 0, et le segment 0 de l'axe des x; si l'on se donne une intégrale par ses valeu le long de BB' et de OA, elle sera déterminée dans le rectang de base BB' et de hauteur OA. On a, en eiïet, deux intégral défmies, l'une dans le rectangle construit sur OA et 01 l'autre dans le rectangle construit sur OA et OB' ; la remarqi précédente montre queces deux intégralesse raccordent (c'ei à-dire ont mêmes dérivées premières) le long de OA et p suite n'en font qu'une.

♦r. CHAPrTRE XVI'

Z>97. Lrs résultats pr»k*rdenl> s'étendent, avec quelques m*: LriiàliMO^ seulement, aux équations linéaires

Un cas particulièrement simple est celui où F(:^, w, c, x, y) serait déterminée et continue pour toute valeur réelle de ^, u et r le point i-r, y étant dans une certaine région du plan], et ou cette f«jncli«jn aurait des dérivées premières

restant, en valeur absolue, moindres qu'an Rombre fixe; dans ce cas. la convergence des approximations successives a lieu dan< les mêmes conditions que pour les équations linéaires.

Soit, par exemple, Téquatioa

= sinx

intéressante dans la théorie des surfaces à courbure constante. II existe une intégrale de cette équation prenant des valeurs

données sur un segment OA de l'axe des x, et sur un segment OB de l'axe des y ; elle est complètement déterminée dans le rectangle construit sur OA et OB.

o08. Occupons nous maintenant des éqomtions du t3rpe (B). Les problèmes principaux qui se présentent alors, au point de vue de la détermination des intégrales par des conditions aux limites, sont dune tonte antre nature. Le cas de

Téquation

a fait Tobjet d'un très grand nombre de travaux, et un problème célèbre consiste dans la détermination de l'intégrale de cette équation, continue à r.intérieur d'une aire et prenani

EyUATlOSS AUX DEHIVÈB9. PARTlEt-tES DU SECOND ORDRE

sitr le pcrimèlre àr celle aire une succession de valeurs Je nées, l'iic question analogue peut dans beaucoup de cas poser pour l'équation (B), . . ■

Consid<Tons d'abord le cas de l'équation linéaire :

où a, b, c sont dos fonctions continae» de x et y'. On étal d'abord que, si l'on prend un contour lermé C enfeloppi une aire suflisamnient petite, il ne peut exister qu'une se intégrale de ré^iwrtioa, ronthiue à l'inlécieur de l'aire limt par C, et prenant des valeurs données sur le aontour.