Si maiatenaat, on veut établir l'existence de c
' solution, on pourra recourir à l'emploi des approxlmalii
successives. D'après les indications que nous avons donn
au début, on pourra le faire si on sait rfeoudre le problè
«ikvaût. &CH«nt l'équBlion
OÙ /(x, tj) est une Banction' donnée de r et y, e* un cont fermé G : trouver l'intégrale u de celte équation, contii ' dans l'aire A limitée par C, et s'aonulant sur ce contour, la solution de ce problème esi donnée par la formule
«Ky) =- ^ // *^*^' "^ ' ^'-^^ ^^^' ''^ ''^*^'''
l'intégrale précïÇdente étant étendue à l'aire A. Dans celte mole G (E, <t; x, t/) diîsigne une fonction classique d l'étude dç Féqnalîon (6t), connue sous le nom de foncUot Green. Regardée comme fonction de £ et '',, efle satisfa IVqualion
elle s*annule sur le contour C, est contiaue à Finterieur de Taire A sauf au point (x, y) où elle devient înGnie comme
log - y en désignant par r la distance du point variable (3, t)
au point (.r, y).
Ce résultat étant connu, on peut appliquer à Téquation (62) la méthode des approximations successives, et établir que les approximations convergeront vers l'intégrale cherchée (dont l'existence se trouve en môme temps établie), si raire A est suffisamment petite.
000* Quelques-uns des résultats précédents peuvent ùtre étendus aux équations non linéaires, quoique on ne puisse le plus souvent être assuré que l'intégrale soit unique. Il est cependant des cas où il en est ainsi ; telle est l'équation
si on suppose que, le point [x^ y) étant dans la région envisagée du plan, on ait pour toute valeur de m, v, w
Une équation particulière donne lieu à une remarque très curieuse ; c'est Téquation
OÙ F est une fonction poisitive, croissant avec w. Quand on effectuera les approximations successives, elles seront divergentes^ si le contour n'est pas sufCsamment petit; mais quel que soit ce contour, les u d'indices pairs convergeront uniformément vers une limite U, et les u d'indices impairs vers une limite Y ; les deux limites trouvées U et V satisfont aux deux équations
7i -r- .:;7:âr = F(U, a?, y)
et prennent, l'une et Tautre, la succession des valeurs données sur le contour. On peut montrer qu'il y a dans ce cas, quel que soit le contour, une unique intégrale prenant les valeurs données sur le contour et continue à Tintérieur ; les approximations successives ne la donnent pas, mais donnent deux fonctions U et V que Ton ne s'attendait pa$ à trouver. Bien entendu^ si le contour est sufiisamment petit^ on a U = V.
601* La circonstance curieuse que nous venons de mentionner se rencontre d ailleurs dans des problèmes plus simples relatifs aux équations différentielles ordinaires. Considérons Téquation différentielle
où /est une fonction .positive, croissante avec y. Il existe une intégrale et une seule de celte équation prenant- pour •J!r = a et :r = 6 des valeurs données, que nous pouvons supposer être nulles. On peut d'autre part essayer d'obtenir cette intégrale en procédant par approximations successives suivant la méthode générale, indiquée au début; or, si l'intervalle {a, b) est suffisamment grand, les approximations conduisent à deux fonctions u et v s'annulant pour x = a et x = 6, et satisfaisant aux équations
on peut de plus établir que l'on a pour toute valeur de x entre açXh
L'équation très simple
oiTre un exemple de la circonstance précédente.
7o0 CHAMTRE.XVl
•OC. Une conséqoeBce nfléressante tle l'emploi de la méthode des approximatioivs sBCceBStves.est relatr^e à la naivre des solutions des équations lioéaires 4\i second erdre. Soit l'équation
te
A —2 -h 2B h C --T, -H i> - 4- K -- -+- Fti-h G = 0
dx^ i^xi^y i^y- ox i>i/
où les coefficients A, B, C,..., G sont des fonctions analyliques de a: et y dans-une certaine partie du plan (c'est-à-dir-; susceptibles' d'ôtre développées en -séries de Taylor autour Je chaque point). On peut établir que, dans toute. régiQn où
