R2 — AC

^ toute intégrale bien déterminée et continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres est aussi une fonction analtjtique. Il n'en est pas nécessairement ainsi dans nae région du plan où B* — AC est positif. •

60A« <^omm6 nous Tavons tu, les approximations successives ne coHnduisent pour les équations du type B à lasolotion cherchée que dans une aire suffisamment petite. Dans les cas où le problème prpposé admet des solutions pour une aire quelconque, il faut combiner les approximatioins sacces&ives avec d'autres méthodes pour arriver au résultat. On peut «oùvent y parvenir au moyen de méthodes d'exhauslion, qui permettent de passer d'une aire à une air^^ plus grande ;ce5 méthodes sont encore en réalité des métnodes d'approximations successives, -mais nous ne pouvons ici entrer dans aucun détail à ce sujet. Indiquons seulement un cas où elles peuvent

être appliquées. Soit l'équation

où les coefficients rf, e, / sont des fonctions continues de/ et y. Si un contour fermé C est contenu danè une région du plan ou

ÉQUATIOKS AUX DÉBIVÂBS PARTIBLJ.C3 DU SECOND ORDRE ''=

il existe une intégrale et une seule de l'équation précèdes continue dans l'aire limitée par G et prenant des valeurs.dc nées sur le contour G. L'existence d'une intégrale s'établit \ les procédés auxquels je viens de faire allusion ; quant au f qu'il n^y a qu'tme intégrale satisfaisant aux conditions ini quées, on- le prouve immédiatement de la manière Suivan tjne intégrale de l'équation précédente ne peut en effet av< ' un maximum positif à l'intérieur d'une région oii elle est ce tinue ainsi que ses dérivées partielles premiers et secondt car soit (xg, ^o) nn point répondant à un tel maximum, aura nécessairement en ce point

• „>o,"i' = o,'ïï = o,'5j<o,^«o, •

. et ces inégalités sont rncom'patil)leK ave(5 l'équation (t>3). Po des raisons analogues, on ne peut avoir dé minimum négal Ceci posé, si le -problème posé avait deux solutionsj l'équati (63) aurait une solution, non identiquement nulle, continui l'intérieur de G et s'annulant sur G ; cette solution devr avoir dans Taire soit un maximum positif; soit un minimi négatif.

604. l'indiquerai un dernier exemple, où une intégrale trouve déterminée par des conditions un peu différentes, m où les méthodes d'approximations successives permetlt encore de trouver la solution. Envisageons l'éi^uation

qui se pr^ente dans plusieqrs questions d'analyse et de gt métrie. Une intégrale de cette équation est complètemt déterminée, par la condition d'avoir n points singulii 0,, 0,,..., On à distance finie, ol d'avoir aussi comme po singulier le point à l'infmt dii plan, sous Vliypothèse qu'c se comportera de la manière suivante aux divers peints s guliers. Au point 0, l'intégrale devient infinie comme p,-log en désignant par ^t une constante supérieure à -r- 2, et {

7o2 CHAPITRE XVI

Ti la distance du point [x, y) au point 0. ; j'entends par là que dans le voisinage de Ot, l'intégrale est de la forme

v/ étant continue à l'infinr, l'intégrale devient infinie comme

— a log r /r = \^:c^ -+- i/^\

oL désignant une constante supérieure à 2. On a de plus Tinégai i té

« 4- ?i -f- P, H-...-H Pn < 0.

Une intégrale de l'équation (64) est complètement déterminée par les conditions précédentes. On a un exemple de conditions aux limites, qui est de nature différente de ceux que nous avons donnés plus haut r les conditions aux limites sont ici le mode de discontinuité de l'intégrale eh certains points singuliers^ ei cette intégrale est déterminée dans tout le plan.

695. Nous pourrions multiplier beaucoup les exemples, où l'emploi d'approximations successives, convenablement dirigées permet d'élablir. l'existence et d'effectuer la recherche de certaines intégrales, Nous nous sommes borné à des équations à deux variables indépendantes; le cas de plus de deux Variables iourniraii d'autres applications. Bien ancien est d'ailleurs, en analyse, l'usage des approximations successives, surtout dans les applications ; mais souvent, pour des raisons diverses, la question de la convergence des approximations n'est pas complètement élucidée. Au contraire, dans les problèmes que nous venons de nous poser, les solutions se présentent avec toute la rigueur qu'exigent les mathématiques pures. On aurait pu prendre encore des exemples ailleurs que dans la théorie des équations différentielles : certaines équations fonctionnelles, notamment, peuvent être étudiées en procédant par approximations successives ; les questions, dont la solution vient d'être esquissée, montrent assez la souplesse de la méthode.

KoHons préUiuInaires ; définitions

OOO. Le calcul des variations a été imaginé par Euler et Lagrange pour résoudre des problèmes tels que celui-ci : Trouver uae courbe plane qui passe par deux points A et B et dont l'arc compris entre ces deux points engendre une aire minimum en tournant autour d'un axe situé dans son plan. Ainsi, tandis que, dans la recherche ordinaire des maxima ou des minima, on a à rechercher pour quelles valeurs de la ou des variables une fonction connue de ces variables devient maximum, dans le calcul des variations ta forme même de la fonction est inconnue. De plus ta fonction inconnue figure sous des signes d'iitégra-

tiOD.

Alinde simplifier le langage, nous adopterons, pour désigner l'un quelconque des deux mots maximum ou minimum le mot unique extremum adopté par le D'' Kneser dans un ouvrage qu'il vient de publier sur le sujet qui va nous occuper. Nous nous bornerons au cas de deux ou de trois variables à cause des facilités que présente, pour l'exposition, le tangage géométrique ; l'extension au cas d'un plus grand nombre de variables se fait sans difTiculté.

ËnSn nous ne rechercherons que des conditions nécessairea à l'existence de l'extremum, ce qui suffit la plupart du temps dans la pratique. C'est ainsi que dans la théorie élémentaire du maximum d'une fonction d'une variable on n'a besoin, la plupart du temps, que d'annuler la dérivée première : on voit C*Lcin. uiDantoiiut 48

"i CHAPITRE XVII

ensuit»*, sin^ Jifficullé et saos calculer la dérivée seconde, siU foa:ti:n fiasse par un maximum, par on mioinium ou si elle est sim;'*.emvnl croissante ou décroissante.

>':us supposerons que les fonctions sur lesquelles nous aurons à raisonner sont ce que Jacobi appelait des fonctiucs raisonnables, c'est-à-dire quelles seront continues, pourvues de d-rriv^es, développables en séries de Taylor, etc.

007« La d Jérentieile d'une fonction d'une variable est h parti*- prin-ipale de la dillérence entre les valeurs de la loncti.n four dvux valeurs voisines de la variable.

La i^ri*2tloi d'une fonction est la fonction qu'il faut l'ai a;:uter pour obtenir une autre fonction, la fonction ajouta' étant par dvilaiîlon arbitrairement petite. Par exemple on pjurra as^urtr cette petitesse par la présence d'un facteur

numérique £. 5s)it

la fonction donnée; si Ton désigne par ^x la variation, et par F ,x I la nouvelle fonction à obtenir on aura

lx = ¥{x)r-f{x). .2)

Géométn juement on peut dire que les deux courbes qui ont pour équations respectivement

restent, pour chaque valeur de jr, très voisines Tune de l'autre. 11 ne faut pas d'ailleurs s*arrèter à cette idée que les points des deux courbées se correspondent nécessairement pour une niéai6 valeur de x. Pour éviter la difGculté qui pourrait résulter de celle idt^ dans certains cas, nous supposerons toujours les deux coordonnées x et y de la courbe (G) exprimées ea fonction d'un paramètre ^ ; le passage à la courbe voisine vC que nous appellerons la courbe variée s'eflectuera

CALCUL DES VARUTIONS ^ 7oo

en ajoutant à jr et ^ des fonctions de ^ que nous désignerons par 4a notation ox et 8^, et qui peuvent rester indéterminées pour le moment. Ces fonctions oo?, o^, par hypothèse très petites , s'appelleront les variations de .r'et de y.

O08. Pour n'y pas revenir, nous conviendrons toujours * d'appeler (A) un arc limité de la courbe (G), (A') l'arc correspondant de la courbe'(G'). Voici comment s'établira la correspondance : \ sera la valeur duparamètre qui déQnit l'origine Mo (^0* Vo)^^ l'arc, Xj la valeur qui définit Textrémité Mj (a?,, yj de l'arc (A)j 5^7^, 8^^ seront des expressions en Xj 8a7i, 8yi,en X^ ; le point M'o, origine de l'itrc (A'), aura pour coordonnées «0 -^ ^«^0» Vu -+- ^o> l^xtrémité i/L\ du même arc aura pour coordonnées oj^ + 8jr,, y^ -+- o^/i, de sorte que, pour Tare (A') comme pour Tare (A), les coordonnées des extrémités seront supposées exprimées en fonction d'une même valeur du paraluëtrCy X^ ou Xj.

Nous supposerons que Tare (A) ne présente aucun point . singulier, c'est-à-dire que les dérivées par rapport à X, a;'x , y\ ne s'y annulent pas eu même temps. Il en sera de même sur (A^ si les variations sont convenablement choisie.

600. Toute fonction F {x, y) des coordonnées x ^\.y subira parla substitution de a? -+■ o^, y h- 8y à a:^ y une altération

F (j: -h 8iP, 3/ -H ay) — .F («v 3/). .

et il en sera de même de toute fonction plus compliquée contenant iion seulement les coordonnées, mais leurs dérivées -d'un ordre quelconque par rapport à X, Fl[a?, y, oc/, y', â/, y' ...). On aura, pour l'accroissement, une expression

que nous supposerons) ainsi que nous l'avons déjà dit, déve-

loppable en série de Taylor. Dans ce développement, les termes

du premier ordre'par rapport aux variations 8a?, 8y, 8a?', 8^, lof ,..

constitueront \di variation première ou simplement la variation

SFdeF

• SF = F, Ico -4- Fv 8y + F,. Sa/ -t- F',. Sy' + F'„ Sa?" -h . .. (4)

Ainsi, en partant du point M d'une courbe^ on peat soit se déplacer sur la courbe ce qui se fera en donnant au paramètre l un accroissement dk, d'où résulteront pour les coordonnées, pour leurs dérivées et pour toute fonction des quantités précédentes des accroissements dont les parties principales seront les diilérentielles des quantités correspondantes. On peut aussi laisser X invariable et donner aux coordonnées des accroissements 8^, By fonctions de X^ d'où résulteront les variations qui viennent d'être déGnies.

610. Pour bien faire ressortir la différence qui existe entre la différentielle et la variation, considérons par exemple l'intégrale

J= j f{l)dk; (5)

c'est une fonction de a et de & dont la différentielle s'obtiendra en donnant k a eXk b des accroissements très petits

dJ = f{h) dh — f{a) da. (6)

Au contraire, la variation de J s'obtiendra en donnant à/;)} un accroissement arbitraire, mais petit, ^ (X) et Ton aura

= / ^(?)dk. (7)

Le calcul des Variations a pour objet précis la variation des intégrales définies ; nous commencerons par étudier les intégrales simples dans lesquelles ne Ggurent sous le signe / que des fonctions des variables x^y^ :r ... et de leurs dérivées du premier ordre par rapport à la variable indépendante, qui sera distincte de Xy y y z, sauf avis contraire, et que nous désignerons par la lettre X. Nous nous bornerons à écrire deux lettres x et y, l'extension à un plus grand nombre de lettres ne présentant aucune difficulté. Il nous sera permis alors de

CALCUL DES VARIATIONS "jS?

parler d'intégrales prises le long de la courbe (C) ; elles seront de la forme

où X, y sont des fonctions de X.

Premières foruinles du calcul des variations

611. La courbe (C) sera définie par les équations Le point M' de la courbe variée sera donné par

a; + Sx = fO) -+- •}- (X)

1® Variation des dérivées.

Les dérivées des coordonnées de M' seront

les variations Sa?', hj des dérivées x'^ y' par rapport à X auront donc pour expression

n , d , 5 V dx dix \

ce qu'on peut écrire

^dx d (5a7) ^dy d (5j/) ,.^.

OU, plus simplement, puisqu'il n'y a qu'une rariable indépendante

Srfo? = dùXf Idy = dly, (13)

D'où ce théorème : on peut intertertir F ordre des opéraiiotis exprimées par les caractéristiques d et^. Corollaire. On a, quels que soient les entiers m et n

2' Vabiatioii du dcux vonctions

t/ du ^ 3f

Oaa

oa, à cause de (12), . ■

î 1 dSu J3 dèx

De même

dvdlx — dxdhy (|6'

rfy

La première de ces deux formules est valable tarit que a/ n'est pas nulle, la seconde, si y' ne l'est pas.

3» Soit encore F (x, y, a;', t/) une fonction ré^ière en tou* les points de l'arc (A) ; on aura immédiatement

■ CALCITU DBS VARIATIONS '59

4° Considérons enfin la, variation d'une intégrale définie

Jo.= / F{x,y,a/,i/)d\. (18)

F {iv. y,

On aura

xf)d\

[F a? 4- «a:, y + Sy, a?' h- 8a/, 2/ H- 8y') — F (a?, y, a/, y')]c?X.

D'où en6n

SJ,,= / SFrfX, (19)

ce qu'on peut écrire.

8 / Fdl= I 8(FJX).

On voit donc qu'on peut intervertir Fordre des opérations f et^.

Formules ne contenant plus les variations

des dérivées

61». La formule (19) s'écrit

Sa? -h V'y ôy -+- F':,. 8a/ -h P^ «vO ^-

/Xi (F'x

CBAPfTBE STII

lolégrons par parties les lermes qai contîeanent 5x'. 'V après oir remplacé cc3 variations par (12) -^' -4^ ; on aura par emple

Si doDC OD pose

formule (I9j, qui donoe la variation cj^| deviendra

oj„ = [fv î.-^ + FV ïy]^' H- / (Po^ + Q;

'Îy'/A (23)

P et Q contiennent les dérivées secondes, x' , y ; nous sopserons ces dérivées continues commet, y, œ', y'.

613. La lorninle (23) peut être simplîlîée dans le cas, ires squent, où Jo, est indépendante du choix de la variable d'inçration et ne dépend que de l'arc et de la nature de la fonction Légrée. On doit en effet avoir, dans ce cas, en désignant r H une autre variable

' ùï ' bkj

--?lx.

qui entraîne, en remarquant que

hx È.r aX t'y hy flX , rfji

ûH ~ ,U bit' ù^~ bk b^' ^ ~ dl^

ientité

OU, en posant

La fonction à intégrer, qu'on peut appeler dans le cas actuel fonction d'arc^ est donc homogène du premier degré en a/ et y'. Cette fonction^ étant homogène, satisfait à l'identité d'Ëuler

F {x,y, œ\y') = xT'^ + y'F'^.

Dérivons les deux membres de cette dernière identité par rapport à i, on obtient

mais l'on a directement d'où, en retranchant,

c'est-à-dire

Po/ 4- Qy = 0 (24)

61 4. Tirons de cette dernière égalité, soit P, soit Q, pour porter dans l'égalité (23) ; nous obtiendrons, pour la variation de l'intégrale, une des deux expressions

«Jo, = [fV Sa? + FV 8y] * -4- / Qd\ {hj - pox) (25) 8J,, = [fV ox 4- F',. Sy] ' -+- / Pd\ (Sa? - qZy) ; (26)

rappelons que, dans ces formules, p désigne ^ et y la quandx

615. Ces formules s'étendent sans difficulté au cas d'iin nombre quelconque de variables dépendant d'un paramètre X. Nous nous bornerons à les transcrire

-PrfX

= [fVSo? ^...-h FVBu?] ' + 1 (PSaJ-+-...-t-Satr) cDi (27)

où Ton a posé

"Et/ ôf W

r fy, — »- —

Premières conditions nécessaires à Pexistenee d'un extrèmum. Applications.

616. Il s'agit de rendre extremum, c'est-à-dire maximnn^ ou minimum, l'intégrale

'Mi . Joi= / F(^,y,Vy)rfX,

les variables et les dérivées étant ou non soumises à des conditions, soit dans leur ensemble, soit seulement aux limites. L'accroissement de cette intégrale, devra conserver un sîgne^ constant lorsqu'on remplacera la courbe C par une courbe quelconque infiniment voisine. Désignons par .

une série ordonnée par rapport aux puissances ascendantes

de u, V, 10 ... et dont les termes d'ordre moindre seront du degré p. Nous pourrons écrire, pour raccroissement de Joi, lorsqu'on remplace Je point décrivant, ce, y par 1q point-

Coiksidérons encore la courbe décrite par le point x -+- e$ar, y -^ t^y où e désigne une constante aussi petite que nous voudrons ; l'intégrale deviendra J^^^ 4-Ae J^j, et Ton aura

Dans celte égalité^ le premier terme du second membre est prépondérant et lui donne son signe ; comme il change de signe avec c, il doit être nul si Taccroissement dé l'intégrale doit garder un signe constant. Oïl doit donc avoir

c'est-à-dire

[FV8Jî + FV8y]J^-h. / (P8x -h Q8y)€R = 0. (»)

61 V. Nous supposerons d'abord que les variations soient absolument arbitraires. Partageons alors l'arc. A en parties sur chacune desquelles P ou Q conserve un signe constant; soit par exemple un arc A,,, correspondant aux valeurs %a et Xs du paramètre, sur lequel Q reste positif. Nous choisirons les variations de la manière suivante : partout, sur l'arc A, sauf sur l.a portion-A,,, Sa? et $y seront nulles ; de plus sur Tare A,^ on aura

Sa? = 0 sy =; (X ^ X,) (X3 - X), X3 > X,.

La variation de l'iatéi

Mais, dans cette dernière. intégrale, tous les éléments sont positifs ; elle ne peut donc ùtre nulle que si l'on a identiquement

Le raisonnement se répétera d'ailleurs pour chaque portion de l'arc correspondant à un exlremum, et l'on verra de même qu'on doit avoir

Nous appellerons courbes exirémales celles le long desquelles les conditions (30) et (31) sont vérifiées, c'est-à-dire qui correspondent à un maximum ou à un minimum de l'intégrale J,,,. ïl résulte d'ailleurs de l'idenlité (24) qu'une des équations (30) ou (31) entraine l'autre, lorsque a/ ou y ne sont pas nulles.

618. Premier Exemple. — Trouver le plus court chemin entre deux points.

L'intégrale qu'il s'agit de rendre minimum est

^dX.

L'équation (29) est ici, en tenant compte de (22),

Les extrémités du chemin cherché étant fixes, on a pour X^ et pour Xj

8^0 = Syo = 5a?i = 8yi = 0,

et les conditions (30) et (31) deviennent

dp, d a/ ^^ d y' ^^

d'où

et, en divisant membre à membre,

X dx

y z=z CUV ~h b. (33)

Ainsi les courbes extrémales sont des lignes droites. Les constantes arbitraires a et 6 se déterminent en exprimant que la droite passe par les deux points donnés.

610. Nous avons implicitement supposé la ligne inconnue plane. Mais le calcul reste le même si Ton introduit trois coordonnées au lieu de deux.

L'équation (32) est remplacée par la suivante

0 = l-===M== 8» -+- y*. == sm

Lv^a;''' ■-+■ y" + z" H* + »"-+- -»'» *

/a^« + y" + z'* Jxo / L rf^ v/a^» + y* + z'*

8 £ y" -4- 8^ iL g' 1

es co0diUoD9

coDclusion reste la même.

[>. Il est csMcnlicl d'observer que les formules utilisées à présent supposent expressément que la variable indénte en fonction de laquelle sont exprimées les différentes

œ, y ... ne figure que par sa différentielle . Comme, le 3uveat, les variables sont exprimées en touclion de l'nDe e elles qui figure aussi sous le signe / paf sa différen-

nons allons voir comment il convient de modifier les les dans ce cas.

>t effet, soit x la variable indépendante ; nous désignelaF /{x, y, p) nue fonction définie parridenlité

m qui s'introduit naturellement si l'on réfléchit que, , x', y') étant homogène et du premier degré en x' et y,

lion f{x,'y,p) n'est donc autre que la fonction

^x ôx' hy ûy' V (34)

CALCUL DBS YARLA^TIONS 767

La formule (25) devient ainsi

Par analogie, on pourrait introduire -une fonctipn

•7/ \ y dx

fi^fV^^) ou ^ = dj}'

et mettre la variation de Tintégrale (26) sous la forme

Cette dernière formule pouprait être utilisée *dans4e cas où, par suite de Févànouissement de x', la précédente deviendrait illusoire.

621 «Avec les nouvelles notations, la condition d'extremum de rintégrale Joi s'écrit, spit

soit

eftZ. L'équation

I CHAFITBK ]

relûppve, s'écrit

\\. Darboux a fait remarquer que, réciproquement, toute jatiqn ditl^renlitlle du second ordre peut être considérée nme di^tmi^saiit une inlîait^ de fonctions f[x, y, f/) telles e llnlèjrale.

/ (^. y. y') dx

ae entre deux points quelconquea de l'une des courbes inrales de l'équation considérée soit un extremum. Pour le voir, soit

juation difTérentielIe du 2' ordre donnée; si ses intégrales it les extrémales d*un problème de variation, elle devra être ntique à l'équation (39), c'est-à-dire que la valeur de y* tirée (40) devra vérifier l'équation (3'J) quelles que soient x, y' /. ]f sera donc une solution de l'équation aux dérivées parlles

i'i/ ^ (>y^y iwiy aj

isidérée comme contenant les trois variables indépendantes y, y. Le problème comporte, on le sait, une infinité de soions.

)33. Cherchons, par exemple, les problèmes d'extremnm i conduisent à l'équation

\ s'agit d'intégrer l'équation

= 0. (39 bis)

CALCUL DBS VARIATIONS

A cet eiïet, nous commencerons par dériver par rapport à j/ ce qui donne

JV y + JÎL^o.

Péquation précédente s'écrit

elle est linéaire et homogène. Pour Tintégrer^ on sait qu'il faut considérer le système d'équations diiïérentiellès ordinaires

du'

ax ay oy

dont l'intégration est immédiate. On a

d'où les deux intégrales

y — ow7= p

F étant une fonction arbitraire.

On a ensuite (41)

Intégrons et, pour éviter des confusions^ changeons le nom de la variable sur laquelle porte l'intégration ; il vient

F (î. y — be) d\ + F, {x, y)

/ («. .V. y) = / '^y' / F (5, y - M kÇ + y Fi {X, y) + F, {x, y),

Calcul iiTFiiiiTtoiiiÀL

••j»iy

-:.ftj

770 CHAPITEB XVII

ou^ en intégrant par parties,

F( et Fg désignant des fonctions arbitraires. Mais, comme nous ayons commencé par différencier, cette solution est trop générale. Il faut exprimer qu'elle convient à Téquation (39bi$), ce qui dC)nne la condition

qui permet de considérer F, et Fj comme les dérivées partielles d*une m(^me fonction arbitraire 0. On a ainsi pour solatibn définitive du prbblèioe

«/ft

et les extrémales de l'intégrale.

sont les droites

y = OJT 4- Ô,

solutions de Téquation

624« Deuxième bxemplv. — Trouver la courbe plane passant par deux points et qui, en tournant mitour dune droite de son plany-engendre une surface de révolutionnaire minimum.

Si Ton prend l'axe de la surfabe comme axe des x et une perpendiculaire comme axe des y, l'élément de l'àire de la sur-

CALTIUL DES VARIATIONS 771

face de révolution sera£iry</«y^ étant rélémentd*arc de courbe. * L'intégrale à rendre minimum est donc

i^dos

Parmi les différentes formes que l'on peut donner à la con-^ dilion cherchée^ nous choisirons, parce que x ne fijgfure pa» explicitement sous le signe f, la suivante

qui donne^

du, à cause de (34) ' .

c'est-à-dire

y »^» + P-* — Tî^—î = «•

On en tire

Nous avons déjà rencontré, (n^ 449) cette équation différentielle ; elle a pour intégrale

G^est U méridienne- de la caténoïde déjà rencontrée (tome !«n*528).

Les courbes extrémales, dans ce problème, sont donc des chaînettes. On déterminera les deux constantes arbitraires introduites par Tintégration en exprimant que* la chaînette pasie pàr-Ies deux points donnés.

772 CHAPITRE XViV

625. Remarque. — On ne trouve pas toujours des valeurs réelles pour les constantes arbitraires. Supposons, par exemple, que les deux points donnés A et B soient symétriques par rapport à ox^ et ai^nt pour coordonnées x^^ y^ et — jTo, y©. On voit aisément que, dans ce cas, b est nulle et que a est donnée par l'équation transcendante

2yc

en discutant cette équ^ition, on trouve que l'angle AoB doit être inférieur à l'angle, 33** 32% des deux tangentes à la chainette issues du point o.

Nous sommes ainsi conduits à ce résultat paradoxal que le problème posé ne peut pas admettre .de solutions. Cela tient à ce que nous avons exclu, dès le début de notre analyse, les solutions discontinues, par exemple les courbes qui présentent des points anguleux. Sans entrer Sans la recherche de cette •catégorie de solutions, recherche qui exigerait de longs développements théoriques, nous dirons.quMci la courbe extrémale, lorsqu'elle n'est pas une chaînette, se compose de deux perpendiculaires AA\ BB' abaissées de A et B sur ox et de la portion de Taxe ox comprise entre ces. perpendiculaires. Celte solution, évidente géométriquement, peut être aussi vérifiée par le calcul : elle s'obtient, en supposant nulle la constante a que le calcul précédent supposait essentiellement différente de zéro. Il en résulte immédiatement

de plus nous avons implicitement supposé x' différent de zéro. Il faut donc ajouter les portions de courbes correspondant à Phypothèse x =« constante, ce qui donne les deux droites AA' et BB'.

636. Dans. les deux exemples que nous venons de traiter, les variables et les dérivées se trouvent séparées soij^s le signe

CALCUL DBS VARIATIONS 773

/. Ce cas se rencontre fréquemment dans les applications et nous devons y insister un peu. Soit donc Hntégrale

J = / « (JT, y.

zy dSf

avec

ds = ^af^ -+- y'* -+- ^'* dl = RrfX ; oa a ici

F (x, y, X, sd ) == Rf {ce, y, z).

Les équations des extrémales (30) seront donc ici

et deux autres pareilles ; par suite, ôomme

dR a?' a/dX dx

on aura

Ces équations qui ne contiennent que des éléments géométriques et qui, d'ailleurs, se réduisent à deux» sont susceptibles d'une interprétation intéressante que nous signalerons en passant.

Les extrémales sont les figures d'équilibre d'un fil sollicité par une force dérivant de la /onction des forces — ^ {x, y, z), la tension du fil étant assujettie à avoir la valeur <p {x, y, z) (Môbius, Statique, 2»« Partie, Chap. VII).