Troisième exemple. — On appelle brachistochrone la

771 CUAPtTBB XVU

eourbe que doit suivre un poiat matériel peMût» abandoimé à luit-mème sans vttesse iaîtialè, pbar aÛer da point A an point B dans Je temps le plas court. C*est cette courbe dont nous nous proposons d'obtenir Téquation..

3QÎent car et oy les deux axes de coordonnées, le premier horizontal passant par A, le second vertical passant par B, Nou» admettons comme évident que le point mobile ne sartîra pas du plan vertical qui contient les deux points A et B. Cela posé, on sait que la vitesse v du mobile a pour valeur, à chaque Instant, la hauteur dont est tombé le point matériel

multipliée par v/2^, ^•dàsîgnatit Tâccélération due à la pesanteur. On aura donc, en désignant par s la longueur de Tare parcouru (Comptée à partir du point A, par / le temps et par A l'ordonnée du point A,

d'où • , ■ •

ds

L'intégrale à rendre minimum est donc

j: étant la variable. Elle s'écrit

et l'on peut toujours appliquer la même règle pour -obteHÎr fe minimum, c'est-à-dire écrire la cohditios

CALCUL DBS VARIATIONS ^ 775

OU

en désignant par c une constante arbitraire • On déduit de là

dy .fc — à^y dx~' y h — y '

en choisissant le signe moins parce que les axes ont été fixés de manière que y décroisse lorsque* x croit. Posons

^ — 2^ = c sin* a = 2 (1 — ces 2 a) d'où

— cly = + 2c sin a ODS a <f « ; réquation différentielle devient

2c sin a cosjx dii = ± —. — da

sin a

dco = ±2c sin' a efa ±= db c (t -- cos 2a) d^ '

et en intégrant

â? — ô =r db c («— 2 sîû 2flt) =r =fc £ (2« — sin la!).

Si d désigne Tabcisse da point B qui correspond à y = 0 (a = 0), on aura finalement pour équations de la brachistochrone

07 s=7 ^ (2a — sin 2s) + 6

y = A — s (! — ces 2a).

' On reconnaît les équations d*une cycloïde dont le cercle générateur a pour diamètre c.

i76 CHAPITRI XTII

Remarque. — On peut généraliser le problème précédent eo supposant d nne part qpe le point est lancé avec une vitesse initiale r^, d'autre part que la force agissante» au lieu d*ëtre la pesanteur, dérive d'une fonction de forces U {x^ y, z). Si I on suppose constante la quantité h déQnie par l'égalité

h = ^ — U (a?., y^, jr.),

le théorème des forces vives fournit l'équation

mv*

et l'intégrale à rendre minimum est

. ds

/2 (U + h) Elle rentre dans le type étudié au numéro précédent.

628* QuATRiÈMB EXEMPLE. — EquaUoYi différentielle des lignes géodésiques. Nous avons déjà parlé (Tome premier, n<^517) de ces lignes; la propriété caractéristique, dont elles jouissent, d'être le plus court cbemin entre deux de leurs points pourvu que ces points soient suffisamment rapprochés permet de former immédiatement leur équation différentielle. Soient u^ v les coordonnées curvilignes d'un point de la surface dont les coordonnées cartésiennes sont x^ y, z\ nous savons que l'élément de courbe peut se mettre sous la forme (tome premier, n^ 477).

ds = \/e du^ -]- 2F du dv -h Gdv*

= y/^ETTFîTT'Uv^du.

U s'agit de rendre minimum l'intégrale

CALCUL DES VARLATiONS 777

On a ici

/•=V^E-*-2Ft/-+-Gt;'«

5E ^ .ôF ,. ôG

ô/ ôr ôi? î^r

^ ~ 2 v/E-h2Ft?'-+-Gt;'« b/' ^ F -f- Gt/

^^ /e -+- 2 Ft/ -+- Gt/*

2>F / ôG ri »

v«r ^ -^ ^ r- -+- G^ èy __ ^w ou

M/ôw "" /e -H 2F«' -i- Cw'«

/(E -h 2 Ft?' -h Gw'«)»

Il 8ufGt de porter ces valeurs dans l'équation (37)

5» du

pour avoir Téquation cherchée tjue nous ne transcrirons pas, l'ayant déjà donnée dans le Tome premier (page 534) sans particulariser la variable indépendante.

Il résulte de cette équation qu*en un point d'une surface il ne passe qu'une ligne géodésique y admettant une tangente ; car si pour u = Wo^ on donne t? = i?o et v' = v'o, l'équation fera connaître t?'o, et par suite v"^.... Nous avons fait observer (1, 520) qu*au contraire par deux points donnés» quelque voisins qu'ils fussent, il pouvait arriver qui! passât une infinité de lignes géodésiques. Le fait sur lequel nous appelons l'attention du lecteur a une portée plus générale que celle d'une simple interprétalion géométrique ; il suffit, pour s'en rendre compte, de considérer la généralité de l'intégrale J sur laquelle nous venons de raisonner. Il faut donc concevoir que deux points ne déterminent pas toujours une extrémale de rintégrale

F (poy y, ^f y') d\

178 CHAPITBS XYU

tandis qa*une extrémale est parfaitemeiit détenpinée par im point et la tangente en ce point.

Si 'd'ailleurs nous avions adopté pônr le d^ la forme donnée dans le tome premier à la fin du n"" 526» savoir

dans laquelle u représente la longueur d'un are de géodési<{ne, tandis que les courbes u = constante sont les trajectoires orthogonales des géodésiques, la propriété- de minimam dont nous nous occupons ici eût été immédiateaient démontrée. En eiTet soit M un point de coordonnées u^^ r,, situé dans la portion de' surface que peut balayer ôntièreoient sans 7 passer deux fois, Un arc géodésique de longueur u^ soffisamment'petit tournant autour de son origine 0. De 0 à M.ira une seule ligne géodésique de longueur eco > toni autre arc allant de 0 à M aura une longueur

Gdv'

évidemment supérieure

du = U|

620. Le problème des géodésiques peut donc encore s'énoncer de la manière suivante : mettre le cb^ sous la forme ^Os^(r*dôf, c*esi-à-dire trouver trois fonctions 6, e^.et a de net de V telles qu'on ait identiquement

Edu^ H- 2Fc?urfu -h (jdv^ = cW« -h. d'rfBf,

ou encore telles que efa* — d^^ SQit carré parhit«

Si Ton pose