EG - F
CALCUL DBS VARIATIONS 979
«on trouve saas peine la condition
Ae = 1, (43)
qui est aussi suffisante ; car on aura alors
ds^ = rfO* -+- (m du -+- n cto)', ou, en choisissant convenablement le facteur intégrant (n^ 399).|
' Cela posé. Ton peut énoncer le théorème suivant : Si ton a une solution contenant une constante arbitraire sl, V équation générale des lignes géodésiques sera
Dans cet énoncé, il faut çntendre que a figure au moins dans une des dérivées g^ ou ~ , et n'est pas seulement introduite par l'intégration de d^. L'identité
différentiée en faisant' varier seulement a donnera, parce que ds^ est indépendant de a,
11 en résulte que la fonction linéaire cfO^ de du, dVf divise M ou <f (g-) ; mais ce ne peut-être <i6, sans quoi ds^ serait: un
carré' parfait. Donc 6^ est fonction de — et l'on peut poser, si l'on veut,
780 CHAPITRB XVII
Or les géodésiques oui pour équation, avec la forme choisie du d#*,
6j = constante ; leur équation sera donc
Celte équation renferme les deux constantes arbitraires a a' ; c'est l'équation générale des géodésiques.
630. Jusqu'à présent, les extrémités de la courbe cherdiée étant fixes, et la courbe variée pouvant être prise arbitrairement, nous avons pu négliger la partie toute intégrée de l'équation (29). On peut souvent, par un choix convenable des variables, ramener au cas précédent des problèmes qui, à première vue, n'y paraissent pas renfermés.
Cinquième exemple. Déterminer la courbe de longueur donnée 1 qui issue d'un point et limitée à une droite donnée, menée par le point, enferme avec la droite une aire maxima.
Prenons le point 0 comme origine des coordonnées, la droite donnée comme axe des x, et une perpendiculaire à Ox comme axe des y. Il s'agit de rendre maximum l'intégrale
ydx
sachant que
/\ sldx^ -i- dy" = l.
Le problème étant posé dans ces termes, nous ne sommes pas encore en mesure de le résoudre. Mais prenons pour variable
CALCUÉ DES VARIATIONS 781
indépendante Tare de courbe compté à partir de Torigine (X = 5) ; nous sommes ramenés à rendre maximum Tintégrale
= / ydx.
dans laquelle x et^y sont considérées comme des fonctions de s. On a, entre les variables, la relation
dx" -f- dy^ = d**,
d'où Ton tire
et J devient
La quantité à iatégrer ne contenant pas s explicitement, nous appliquerons encore, comme dans le problème précédent, la formule •
en désignant ici par p le rapport ^. Les ôxtrémales ont dotic pour équation différentielle
a»-* \di) '
. s H- ô y = a sin •
7S2 . CHAPITRE XVÎI
On a ensuite
sin* ^
dx , * s -h b * -t- ô
as '^ , a a
L'élimination de s donne enfin pour équation des extrémales
La courbe chercbée est donc un demi-oercle : on achève le problème en déterminant les constantes arbitraires. On doit avoir, pour 5 = 0, x = y = Ocç qui permet de prendre 6 = 0, c'= a. Pour $=s l, il faut encore avoir y = 0, d'où l = aT.ei
63 !• Sixième exemple, r— Trouver la sur face de révolution qui^ sous^une aire donnée w,- renferme le volume masàmum, étant entendu que cette surface rencontre son (zxe en deux points et en deux points seulement^.
Nous prendrons l'axe de la surface pour axe des Xj un som* met de la surface comme origine des coordonnées^ et, comme coordonnées, la perpendiculaire y abaissée d*un point de la méridienne sur ort atxe et TabscbM da même poiot. L%fégrale à rendre maximum est
i= I y^dxr
yds
a une valeur constante ^. Sous cette forme^ nous ne savons pas encoVe résoudre le problème ; .mais prenons comme
sachant que
CALCUL UBS TAnUTIùNS TéS
deuxièitae variable, aa lieu de x, la portion u d'aire comprise eâlre le sommet et uq parallèle quelconque ou plutôt cette aire divisée par Sn ; l'intégrale & rïudre maximum sera
il s'agit seulement do l'eiprimer à l'Kide des variables y et «~ . Or on a ■ ■
du ==yda = y^dx* ■+■ dy*, on ." . ' . . ■
. Donc. - . '
- Comme u ne'fignro pas sons le signe /, c'est «ncore l'égalité-
- ■ ■ ■ r-pfp'=*
que nous allons appliquer. L'éqUation différentielle de l'eitrémale est donc :
784 CHAPITRE XTII .
L'intégration s'effectue sans peine et Ton troave
Comme ueiy doivent s'annuler en même temps, il faudra
poser
ce qui donne, pour l'équation de l'extréûiale,
Pour y = 0, on doit avoir m = 0 et m = w ; nous supposerons de plus, que u croisse avjec y, ce qui donne Gnalement r équation
avec l'égalité
tu = 2àK
On a, d'autre part,
* = f v/' - *' {iîî ■ ■
donc Téquation en coordonnées cartésiennes* de l'extrémale est
(x — c)' -i- y' = a* c'est une circonférence.
"iVouvelles conditions nécessaires dans le cas où les points extrêmes des courbes cherchées ne sont plus flxes.
632. Jusqu'à présent nous avons toujours supposé fixes les extrémités des courbes cherchées, et le chemin de l'intégration
78îr
entièrement arbitraire. Supposons maintenant que les extrémités du chemin d'intégration ne soient plus fixes, mais seulement soumises à certaines conditions. Par exemple si 2:0,^0 sont les valeurs des coordonnées x, y qui correspondent à X == X^, x^j j/i celles qui correspondent à* X = X^, supposons qu*on ait entre ces quatre quantités des relations telles que
ffi («^0» Vo» ^1» yi) = 0 ' (» < ^)-
Il est clair qu'avant tout les courbes cherchées devront être des extrémales ; un exemple simple le. fera comprendre. Le plus court chemin entre deux points inconnus et soumis à certaines conditions sera toujours une ligne droite ; les conditions accessoires serviront seulement à fixer la position de la droite. De même, en général, si la courbe f(xy y) = 0 est une solution du problème, entre les points extrêmes de Tare de cette courbe cet arc devra -être extrémal ; sans quoi, on pourrait entre ces deux points le remplacer par un arc d'oxtrémale.
Nous ne sommes plus ici absolument maîtres des variations pa'rce que, aux extrémités du champ d'intégration, 11 faudra satisfaire aux conditions nécessaires qui résultent de (44) c*està-dire aux équations (44) et à
gi (^0 -+- ^^0. î/o ■^- hif ^1 -+- ^^i> Vi -+- hi) = 0 ; (45)
les équations (45) peuvent s'écrire, en se limitant aux variations premières.
gi = B ^^^
Nous choisirons les valeurs suivantes, x, et X3 étant deux valeurs de'x comprises entre les valeurs extrêmes X^^ et X,. Entre X^, et Xj, nous prendrons
qui conservent un signe constant sur Tare A et qui de plus se
CULCCL IHFIRITfBIMAL 50 .
Tgô CHAPITRE 'XVll
réduisent à Sa-^, 8t/^ pour X = >^; entre >, et X3, npus supposerons
Sj; = 8^ = 0 . • • •
et enfin entre >, et Xi nous poserons
h I^^I^^Q^SJ, 8y=^8y,^^^J. •
de sorte que la courbe van» sera très voisine de l'arc A et ' de plus satisfera, aux conditions aux limites : elle est de celles vis-à-vis desquelles Tare A doit Journir un extrenHim. La variation de rintégrale est toujours donnée par l'identité (23)
(Paa;.4- Q8y) dX.
L'arc A devant ôtreune portion d'extrémale, on devra toujours avoir, comme d'ailleurs çn lé voit en adoptant les valeurs cidessus* données pour jes variatiops (*)» •
P = 0.. . Q = 0.- Mais il faudra de plus^ pour que 81^^ soit nylle^ que lion ait
[F\,] Sa, H- [F y.]^ ^y, - [F^]^ 8^^ - [F'y\ 8y, = 0. (47)
Dans l'équation précédente les indices indiquent qu'il faut remplacer, dans les dérivées Fy> F y, les variables a?, y, x', y\ par ojp t/i, a?\, ?/i, pour celles qui ont Vii^dice 1 et par Xq, ?/o, cV^, y'^ pour celles qui ont l'indice zéro. Dés équations
(*} On pourrait se demander s'il ne serait pas possible d^annuler 8J,„ en compensant la partie intégrée parPautre ; mais le signe de la partie non intégrée étant arbitraire j cette partie ne pourra être' dans tous les cas égale et de signe contraire à l'autre. Elle devra donc être nulle séparément.
fi6), on tirera i des variations ^x^y îy^, 5a?j, y j pour les -porter ^
dans X47) et Ton annulera les coerGciehts des variations qui
auront subsisté. On aura ainsi de nouvelles conditions néces-*
saires. , . . -
Supposons par exemple qu*il y ait deux relations de la formé (44) " . • '
9i K> yo) ='0 • 9% (^i» 2/0 = ^
■ Les relations (46) s'écriront
en portant dans (47) les valeurs de Ix^, Ix^ tiré'es des égalités' précédentes, et égalant à zéro les coefQcients de ly^ et de ly^^
-on obtient les proportions .
Ces équations jointes aux équations (48) détermineront les points a?o, Voi ^lï.î/i ^^ aboutiront' les extrémales. On peut encore, si Ton veut, -remplacer les équations (50) pjir les sui-
vantes
-auxquelles il faut alors adjoindre les équations (49).
033, Reprenons quelquesruns des exemples déjà traités. Nous avons vu au n^ Gi8 que les plus courts chemins entré <ieux points étaient des droites. Si les points extrêmes doivent
sur deux courbes données, ou aura en chacun de ce»
ils
,-à-ilire, à cause des valeurs de Fi', FVi
°st la condition d 'orthogonalité connue; ainsi le plus^ t chemin entre deux courbes se compte sur une normale nune. De même si l'un des points x„ y^ est Gxe, la plus ,e dislance de ce point à une courbe se compte sur une lale à la courbe issue de ce point. Remarquons, en pasque nous avons seulement exprimé que la distance des points était exlremum : l'on sait, en elTet, que les nori issues d'un point à une courbe peuvent être des chemins [num ou minimum.
deuxième exemple donnerait Heu à des remarques anas; la chainette, qui est l'extrémale cherchée, doit ëlre normale aux courbes qui la limitent.
634. Théorème sur les liâmes céodésiques. — Sott l'arc de tji'odèsique
,=/Ve^
ition, si les extrémités M, et M, décrivent deux <5l'>le courbes quelconques WoN,, et M,N,, aura pour ex- 1 (23)
L i'l'V-i-2F»'»+ai" J»..
Or, si Ton coosidère les deux droites
dx dy dz
le cosinus de leur angle aura pour expression
dx^x -+■ dyly H- dzlz dlSs
ou; en remplaçant dx par
àX f ^X j
— du -^ ai?,
<le même dy, dz, ^x, Sy, ^z par des développements analogues,
008 ^^as, 05; ^^^^
La variation de Tare de géodésique peut donc s'écrire
•^J = [os C08 {ds, ^s)\^ = MqN^ cos (rfso, 8«q) -h MjNi cos (ds^, ^s^)»
C'est la généralisation d'une formule connue (I, n^ 449). A l'aide de l'expression de 8J en $u, 8v , on vérifierait aisément 4]ue J est une solution de Téquation (43) {ù? 629).
635. Formule de Tait et Thomsom. — Les mêmes considérations permettent d'interpréter la variation d'une des intégrales définies au n^' 626, ou plus exactement la partie principale de l'accroissement de cette intégrale lorsqu'on remplace la courbe extrémale par une courbe infiniment voisine. A cet «ffet reprenons la formule (23) étendue à trois variables ; comme la courbe (C) d'où Ton part estj par hypothèse^ une «xtrémale, l'intégrale est nulle et l'on a
8J = [FV Sa? -+- FV Sy -H F,' 8^]^*
V dx ^ dy ^ dz ^^11^^
Désignons par <p (Mo), ? (Mj) Içs valeurs de o (x, y, z) aux limites et soient N©, Ni les extrémités de la courbe (r] infiniment voisine de (G) ; soient enfin Mo To et Mj T, les tangente^ à Textrémale (C) en M© et M^. On aura
dx ^ dy ^
■rfT °^ -^ d^ «y
dx >^ , 0?M ^
M,No cos ToM.No
rfs J
= M,N,coaT,M,N\ = — MjN, cos T;SCn7
FiQ. 50
et enfin
SJ = — MoNo cp (Mo) cos ToMqNo — M,N, «> (M,) cos T^M.N,
Telle est la formule que nous voulions obtenir.
Dans le cas particulier où <p == i, on retrouve la formule du n° 449 tome l*%si la courbe (C) est une ligne* droite, et celle du numéro précédent, si la courbe (C) est une géodésique tracée sur une surface.
636. Les applications de la formule précédente sont nombreuses. Chercbons par exemple les extrémales, définies par les formules (42), qui vont d'une surface donnée à une autre surface dpnjiée. Soit encore Mo et Mi les extrémités de Textrémale cherchée; fai'sons varier seulement le point M,. On aura
. . 8J = -r M,Nj cos T^IMT, et, puisque o J doit être nulle.
cos TaM^Nj =« 0.
CALCUL- DBS VARIATIONS « 291
Ainsi rextrémale inconnue doit être normale à la deuxième surface ; on verrait de même qu'elle doit être normale à la première.
Par exemple les brachistochrones, correspondant à une fonction de forces donnée U (n® 627, remarque) et à une valeur donnée de la constante A« qui vont d'une surface à une autre sont normales aux deux surfaces.
637. Nous avons supposé jusqu'à {présent que la quantité F, qui figure, soûs le^ signe /, est indépendante des limites et qu'il est toujours possible de trouver un paramètre qui prenne les menées valeurs aux limites sur toutes les courbes variées. U n'en est pas toujours ainsi ; par exemple dans le ^problème de la brachistochrone (n^ 6^7)^ si les extrémités lié sont plus données, mais seulement assujetties à se trouver sur des courbes données, la vitesse sera donnée en un point quelconque par la formub
• l'axe des y est toujours une verticale (dirigée cette fois vers le bas), et la quantité F contiendra j/q et, en outre, v^ qui peut être supposée une fonction donnée de Xq et de i/q.
Avant de voir ce ^u'il convient de faire dans ce cïis, montrons qu'où peut toujours supposer les limites de l'intégrale fixes. Si l'on a en effet
il suffira de po^er
pour transformer cette intégrale dans.la suivante
nr
792 CHAPITRK XVll .
et ici les variables doivent être considérées comme dépendant de t et des constantes \^^ \.
Plaçons-nous donc dans cette hypothèse et soit
- I F rfX == I F (a?, 3/, a/, y\ x^, y^, x^^ yj,
l'intégrale à rendre extremUm. On aura
J -h A J = / F(a7 H-8a?,y-h5y,a:' H- Sa?', ... 3/1 H-oy4){/X,
Choisissons d'abord un système de variations qui laissent fixes les extrémités de la courbe C ; ilfauttraiter œ^, y^, x,, y, comme des constantes. L'équation des extrémales (F = 0, Q = 0) donne alors, en se reportant à la formule (23), l'identité
X\ (F-; Icc + F'y ly ^ FV Sx' + Fy. Sy») À = [F^ 8a;-h Fy Sy]!^;
il en résulte pour la partie principale de AJ, si Ton choisit les variations Sa?, 8y comnie au n^ 632,
F'^,rfX-4-,.. + 8y. / F'yrfÀ;
c'est cette variation qui devra être nulle en vertu des égalités (46). D'où l'équation
. 638. Appliquons ces considérations à la brachistochrone-
CALCUL DBS VARUTIONS 793
Soit d'abord r^ = 0. On aura
t>* = 2^ (2/ — yo)
d'où
ds
dt =
Nous avons donc à rendre extremum l'intégrale
D*abord la courbe cherchée, devant être une extrémale, sera une cycloïde ; les formules (49) et (53) nous apprendront seulement comment la brachistochrone aboutit aux courbes qui la limitent. On doit avoir simultanément
s/d^T7^ v/y-2/o V^x'» 4- y» \/y — yg J^,
<>yo
Choisissons d'abord un système de variations tel que
8a?o = 8y^ = 0 ; l'équation (54) devient
x\ Ix^ -h y, 8^, = 0, (5$)
c*est- à-dire que la brachistochrone aboutit normalement à la courbe d'arrivée (condition nécessaire).
Si mam tenant les variations Sx^, Sy^ ne sont pas nulles, nous allons transformer l'équation (54). Remarquons que Tune des équations de Textrémale
donne
et aussi
De même
.F'^c;x = dF'^..
F'ycA = ^F'y.
En portant cette dernière expression sons le signe / dans (34)« cette équation devient, en intégrant et tenant compte de (56} ,
OU
{^^, - 5.r j H- 'é (^yi - ^i^o) = 0
Xj
OU enfin^ à cause de la condition déjà écrite (55),
a;\ 8a?o -+- y^i 8yo = 0.
Ali point de départ sur la courbe g^ {x, y) = 0 la tangente à cette courbe est donc perpendiculaire sur l^i tangente à la brachistochrone au point d'arrivée. *
630. On aurait pu encore ne pas supposer la Vitesse initiale nulle, mais supposer par exemple^
Dans ce cas, Textrémale est normale aux deux courbes qui la
CALCUL DES VARIATfONS ' '79
limitent ; on retombe en eiïet sur le cas où l'expression à intégrer est indépendante des limites, cas que nous, avons étudié géométriquement (n° 635).
Cas où une intégrale conserve une valeur donnée le long du chemin qui doit rendre une autre Intégrale extreuium.
640. Le problème nouveau à traiter est le suivant. Il s!agit de rendre extremum l'intégrale
= / • F {x\ y, a/, y') dk
sous la condition, que Tintégrale
dX (57)
ait une valeur constante. Le type de ces problëjnesi qu'on peut appeler problèmes isopérimélriques, est celui qui consiste à enfermer sous une ligne convexe fermée une aire maximum ; il faut dans ce cas rendre maximum l'intégrale
J= / y*co8(N, j/),
sachant que la ligne courbe a une longueur donnée
Nous supposerons expressément que rextremum absolu de J ne peut pas être atteint, sans quoi le problème ne se poserait pas.
On peut calculer la variation de K comme on a calculé celle de J ; introduisons alors des quantités analogues à P et à Q (22), savoir
la variation première de K s'écrira
(3307-+- QSs/) d\. (59)
Cela posé considérons toujours un arc A partagé en trois sections correspondantes aux valeurs de X, \<i\<Z^^<i X, ; supposons que Ton ait entre X^ et X,
,lx = 6 (X — \f (Xj — X)^ = 6 A,
entre X, et Xg
et entre Xg et X,
Ix = £' (X, — X)' (X — \Y = t' A',
On aura, en supposant fixes les extrémités du chemin d'intégration,
jnt^l A^2 /-»Xi ^Xi
= 8 / PAdX-f-7j / QArfX+E' / PA(fX-HV / QA^ t/\^ J\^ J\. J\.
Les quantités A, M restant positives, on peut appliquer le
théorème de la moyenne, et, en désignant par Pm, Qm, Pji* 'Ojx des valeurs moyennes dans les intervalles correspondants, ' écrire
On aura de même
aK=eS,,, / ArfX+TjT^ / Adi-hi'S,^ I A'«A4-ti
Les quatre intégrales qui Ggurent dans ces deux variations étant essentiellement positives, 8K et oJ ne peuvent s'annuler pour des valeurs simultanées des arbitraires c, t^, e\ V que si Fon a • ,
