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, ô— = ff- = -55- = 7f ~ • \^^}

^m *m ^iJi *li .

Supposons maintenant que à, tende vers \ et X3 Vers l^, on aura

Hm P^ = Pc, lîm Oto = Qq, lim S„ == Sq, lira T,„ = T^ lira P^ = P^, Hm 0,^ = Qi, lim S^ == S,, lim T^ = T^.

et les égalités. (60) se transforment dans les suivantes

* 0 Vo * 1 vi /oa\

Introduisons maintenant la nouvelle hypothèse que la courbe (C) ne soit extrémale séparément ni pour l'intégrale J^ ni pour l'intégrale K. Alors on n*aurapas en tous les points de Tare (A)

supposons, par exemple, qu'au point 'k^ une des quaatitt's P et Q

79H .CBAPlTRp XVM '

soit différente de zéro, Q, par exemple. Nons pourrons tirer des égalités (61) S^ et T© et écrire

d ailleurs T^ ne peut être nulle,' sans quoi S(> et T, seraient nulles et l'arc A sera extrémal pour K, ce qui est contraire à rhvpothcse. Il existe dope une* constante s.

indépendante du point initial \f différente de zéro, et telle que Ton ait identiquement

' Le point initial pouvant être pris arbitrairement sur Tare A considéré, la courbe dont cet arc fait partie* doit donc satisfaire aux équations différentielles

Posons

H=^F-HaG;

les équations*précédentes s'écrivent

."'--5X»-=*'"V-ax»V = «- (63)

Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant : ies courbes qui rendent exlremum F intégrale J sous la condition que rintégraleK conserve un^ valeiCr constante sont les exfré^ inaleS de Vintégrale J -«h «K, a étant une constante qui nest m nulle ni infinie.

La symétrie de# formules montre que les mêmes équations

feraient connaître l'eitremum de K', dans le cas où, K étant variable, X conserverait une valeur constante. Le mOme lait se. rencontre dès les théories les plus élémentaires ; il sullit de. se rappeler les deux théorèmes corrélatils qui concernent l'extremum dil produit (ou de la somme] de deux nombres .lorsque ta somme {ou le -produit) dç ces deux, tionibres -con- ' serve une valeur donnéQ,

Itappelons une dernière fois que l'eslremum relalit étudié dans cette section est, par hypothèse, essentiellement distinct de l'extremum' absolu de J. Nous appellerons -la courbe qui fournit cet' extremum relatif un» courbe relativement extra- . maie.

«41. Exemple. — Reprgnons l'exemple traita au n" 630. Il s'agit de rendre extremum

J sachant que

La première équation (63) donne ici '

Eb prenant y. comme variable indépendante, l'intégration est immédiate ; on a en effet

Les courbes cherchées sont des circonférences.

642. Si leB.limites de l'intégratioD ne sont plus fixes comme nous l'avions supposé, mais si les points extrêmes vérifient des relations telles que

une analyse analogue à celle du ni) 632 permet encore d'obtenir les conditions aux limites, les seules qui restent à obtenir; il est clair en eiïet que les courbes cherchées doivent avant tout satisfaire aux conditions (03). L'accroissement de K lorsqu'on passe h la courbe variée est, sous la réserve que l'on part d'une courbe relativement extrémale,

iK = [GV Sa; ~t «'y Sy] J^ ^ j (S &c + T Sy) rfX + [ix, iy, W, V],.

en se conformaat aux notations du n^ 616. Choisissoa? pour les variations les valeurs suivantes :

sur l'arc 1, X„

sur l'arc X, >,,

Zx = Z>/ = 0, . et sur l'arc Xj X,

AK = [Sa7„, 6y., 8a;„ 8yJ, m- t / T (X, - X)> (X X,)» dX

+ [«. H. 8y(, Sj,, 8y,J,,

Il résulte de là qu'on ae pourra avoir

iK = 0 * (65)

qu'en prenant pour Eune série dutype [Sa»,,, Sy,, Sx,, Sy,] puit qu'on peut choisir l'intervalle de manière que T y conserve u signe constant. L'égalité (65) entraîne aussi la suivante

iJ = i (J -H aK) ;

d'autre part, comme nous supposons la courbe considéré .relativement extrémale,

AJ = [HV S^ + H'y. Sj/JÎ^ -\- j d\ {Sx, Sy, W, Sy-),. A-

GrAce aux variations choisies qui sont continues ainsi qi leurs dérivées premières ef secondes, l'intégrale est une" sér: de la forme [Sa;,, Sy,, Sa;,, Sy,], et la condition SJ = 0 se réduit

[HVS^ + HVSy]J;=0, (66)

qui doit être compatible avec les conditions déduites as (6i c'est-à-dire avec

"li ix, + "-^ By. 4- ^ Sa;, + "li Sy, = 0.

^t "^0 ''^i "yi