Sbptièmb ExiîMPLB." — TVoutJer la figure d'équilib
d'un fil pesant. Si l'on suppose l'axé des y vertical et dirigé ve
Calcul iiFmrfaiitjLL 5t
802 «' .GHAPITRB XYU
le bas, r ordonnée du centre de gravité est donnée par la formule
dans laquelle / est la longueur du fil ; cette ordonnée doit être maximum. Il taut donc rendre maximum ^
sachant que
L'égalité HV == constante donne ici
Prenons y comme variable indépendante'; nous obtenons réquation différentielle
ou
dy . y/(y ^ a)8 ^8
L'intégrale s'obtient immédiatement (page 3S2) :
- OkILCXSL DES* VARIATIONS ' 803
En ajoutant la valeur de e <> à celle de son inverse, oa trouve réquation • •
qui est celle d'une chainette.
Introduction de dérivées d'ordres supérieurs
044« Nous supposerons maintenant que la quantité qui iigure dans Tiatégrale à rendre maximum contient les dérivées des variables x et y jusqu'à Tordre p:
1 = / F (a?, y, a/, y^ a/, y* ... a)lP\ y{p)) dX (67)
et nous n'examinerons encore que les intégrales qui sont indé* pendantes du choix de la variable sur la courbe variée ; on aura
r-4- A I = 1 F (x -t- «a», y -t- Sy, a/ H- «a/, ../ y W -+- 8y<')) d^,
4'où
(termes du 2^ ordre).
Pour ramener les intégrales à ne contenir que les variations
des variables x transformer les
Remarquons d'abord que
Oq a alors eo appliquant la formule d'intégration par parties généralisée (page 351)
Posons
et conlinuons à désigner par des accents les dérivées par rapport à X ; la formule précédente s'écrira
+ (-!)>-' B,(*-'lîy]J' + (-l)» / B/-'lSy<ft.
La variation de I se mettra donc sous la forme
«=(2;.+2,)i;;+/'(''«'+ow^,
CALCUL SES VABIATIONS
les lettres 7,, V iadiquaiitdesgonnnesde lermes analog atx Becond membro de la tormule (69), et tes lettres P, Q a^ des signiticatîons faciles à trouver. Par exemple, en design par des lettres A affectées d'indices les dérivi5es par rap{ Ax,af ..., on a
. En raisonnant comme au n* 621, on trouvera encore, p que I spit extremtim, les conditions nécessaires
645. Nous n'ins'isterons pas davantage sur la théorie gé -jale qui ne présente plus de difficultés sérieuses ; c'est a que les conditions de la nature des équations (44) devi être difïérentiées par rapport au signe S un nombre de suffisant pour introduire les variations de l'ordre te plus él rencontrées dans le problème. C'est ainsi encore que, si l'o une condition de la forme
G (ai, a^ ... xW, y, ^ ...yi) rft = constante;
il sulBra d'exprimer que l'intégrale 1 + oK est un oxtremi a, étant une constante essentiellement différente de zéro. Nous nous bornerons à un exemple.
646. IIuiTiÂMB BxBHPLB. — TrouvcT la courbe pour laqui faire comprise entre un arc de celle courbe, les normales t extrémités de l'arc, et l'arc de la développée compris entre deux normales sont un minimum.
Nous prendrons, comme aire élémentaire, l'aire comp: entre deux normales ioGniment voisines et l'arc qui joint le
. pieds ; celte aire a pour partie principale h pds ou, en rem[
Traosiormons directement ces diverses intégrales :
/ F',. «»■ * = !»;'. FV - j; FV- «I + / ^Jj?' «^ <»
/ FV V * = ¥• ^v-ja F',- '» + / Tï'- '!"^ Si l'on choisit d'abord les variations qui laissent les coor-
CALCUL DES TARIATI0N8
données des extrémités de l'arc (A) et leurs dérivées iovarisblAf on voit que SI se rédairà à
' et ro;i aura, pour l'annuler, les conditions
qui s'intègrent
une première lois
TJT-
"V— ■ ■. ^'-rv"-»-
Orona
' On en déduit aisément l'identité
. d'autre part F étant homogène et du second degré par rapp sas. lettres x*, y*, 'v'^ y*, en a, en Vertn de l'identité d'Ënler
aj- FV + y" F-y' M- -^ F-^r + / FV = 2F
et en retranchant l'identité précédente et tenant compte de que l'on a aussi
a^F>+yry- = — F, (73
CALCUL DB3 VAHIATIONa
d'où
- j:, = ^ (2» -h aie 2ç
Od reconnaît les équations de la cycloïde
647. 11 n'est pas inutile de remarquer qi raie fournit des îdentitt^s analogues aux td Cela résulte de ce que nous ne considérons indépendantes du choix de la variable,
Nous aTons déjà posé {n" 643)
Le calcul, que noue avons seulement indiqui amènerait h poser aussi
L'on démontre alors les identités suivan Pa/ + Qy' = 0 F = P, J!" + Q, y -*- P.i- -1, Q,y' + ... -4
8101 CHAPITRE XVU
Principe 'de la moindre action
648. Neuvièbib exemple. — Nous traiterons encore, vu son importance en mécanique, une application où (igurent plus de trois variables ainsi que leurs dérivées premières.
Le principe de -la moindre action exprime tine propriété du mouvement d'un système de points matériels indépendante du temps ; les points peuvent d^ailleurs être soumis à des liaisons poucvu que ces liaisons ne varient pas avec le temps. Les forces sont supposées dériver d'une Fonction U dans laquelle le temps ne figfure pas explicitement. La position du système dépend de. k -paramètres géométriques indépendants q^, ^g, ... qkf c'est à-dire que les coordonnées' de chaque point s'expriment par de^ fonctions de ces paramètres ne contenant pas le temps. Posons
e2(o' sera une forme quadratique des différentielles dqt telle que
rfto» = 2 ^ dqx dqk. \ .
Pour amener le systèm'e donné d'une position initiale P^ à une position finale P^, il suffit de concevoir que q^^ q^^ ... sont des fonctions continues d'un paramètre X^ fonctions qui prennent pour X = X^ et pour X == X| les valeurs des paramètres To 91%*" P^^ lesquelles sont déterminées les positions Po et P^^ du système. U y a évidemment une infiiiité de systèmes de fonctions^ et par suite de déplacecpents .qui permettent d'amener le système de Po en Pj. Appelons généralement qi^ la dé* rivée de qi par rapport .à un paramètre fi ; pour un déplace-
ment déterminé, les coordonnées devienaent des fonctions de X et Ton a
CALCUL DBS VARIATIONS 811
la fonction e étant définie par Tégalité précédente. Introduisons maintenant l'intégrale
\/2e \/2 {V -^ h) dk
que nous appellerôïis'raction entre Po et ?« : A est une constante-donnée.
Le principe de la moindre action s'énonce ainsi : le déplo" cernent pour lequel Faction quon vient de définir est minimum^ est compris parmi les mouvements naturels que prend le systime matériel lorsqu'on imprime aux àifférents points des vitesses telles que le système passe de la position P, à la position P^ et que la constante des forces v\ves qpit égale à h.
Cherchons en effet le minimum de A ; en désignant par F la quantité sous le signe /, nous aurons à vérifier les k con-» ditions
c'est-à-dire
\/^iVj^h) ôo v/2e ïOJ rf /\^2\]-h2h je|\ ^ jj
v/2e ^i "*" v/2Uh-2A ^< ^ V v^2ê ^tk )
Prenons comme nouvelle variable la variable / définie par Féquation
dt = ^-J-^-— - d\ ; (76)
en aura d'abord
9xk = 9it
dt
puis,
en posant
- Zu<^ik Çit Çkty
ôT (dty
se
ôT dt
mu 5x '
CALCUL DBS VARIATIONS '
en outre que J est ïndépeadaal du choix des coord et ne dépend que de la forme de la surface. Ai: exprime £, y, z eu foDctioa de deux nouvelles coordc on aura par hypothèse
ou, en bornant l'intégration à un élément de aurfai quant tes formules relatives aux changements d dans les intégrales définies (n° 197}
F(:c, y, z, x„ ... Zr} = fi^rV, ■
Pair analogie' avec les notations relatives aux simples, nous poserons immédiatement
* ^u- do J
dP' dF' \
' - -du - dv l
et nous indiquerons, sans démonstration (*) parci ne les utiliserons pas, les identités suivantes
Pa'tt + Qj/„ -4- R»„ = 0, Px^ -4- Qj/p + Rî„ = 0
F=aî„F'^+y„F'y-t-T„ P',=cr„ F**. + Y» ^V + «.. *« P'*, -I- ïu F'y.-i-^u F'.=3r„ r^4- y^ F'y -h ^ „ F' j^=
(*] Le principe de la démonstralion peut s'indiquer en On prend ponr p et g les valeurs u + f , t) + r„ t et t^ élan tiens de u et de u régulières et petites : puis l'on dévelopi membre deTidentité {'!} par la formule dé Tayler'de deu 1° en considérant immédiatement F comme fonction dt 2» en commençant par développer x, y,i, x. ...
en désigoant par ix, Sy, Sx des foactioiu de u, n que nous ccnaidèrerons comme petites. Toute expressioa /défiaie sur (S) BB transforme en /"-H A/" sur (S'); ]a partie principalede A/, (c'est-à-dire les termes du premier ordre dans le dëveloppement de Taylor) est la variation première S/* de/. Nous aurons en particulier -
S» , ft fa; -t- ôa?) ']5 . sSjr \
et quatre formules pareilles en remplaçant x par j^, puis par j.
8F = S (F'^5^ + F'^5a7„.+ F'^"Ea)^) '(8!)
et enQn l'idlégrale J subit, lorsqu'on passe de la âoriace (S) i la surface (S'], un accroissement dont la partie principale est
ij= I j du dv 3F.
Or, si l'on remarque qne l'on a l'identité
et d'antres analogues, la iarmule (82) peat s'écrire BJ = / I du dv (Pà^ -h QSy H- K^s)
CALCUb DBS VARIATIOKS
en posant
-V = r^. Sx + F'y Sy -ï- F', tar.
La seconde intégrale de la fçrmule (83) se transform l'aide .âe la formule. 33'''' (n* 20!)) en une.iatégrale curvili] étendue à la courbe C qui limite la portion de surface coi dérte
651". Nous sommes - maintenant en mesure d'établir conditions auxquelles satisfera nécessairement toute suci -ijuiTeiulJ extrenuim. En etiet on pourra choisir. un. systf de variations qui s'annulent sur le contour C et qui cons vent au- premier term% de EJ un signe constant ; Sj deV «'annuler, on aura nécessairement
dp' - rfF' • f Q = 0 ou F'j,-^-^*=:0 ■ (8i
* ■ au dv ■
Peux de ces équations' entraînant la -troîsrëme. Nous app lerons encore extrémale de l'intégrale J toute surlace déû par les trois équations précédentes.
652. L'analogie avec les extréma des intégrales simplet poursuit plus loin. Supposons que les inconnues soient e( mises & la condition que l'intégrale
*(,r, »/, Z,Xu,yu,3!^,
CALCUL DBS VARIATIONS
Multiplions cette équatiOD par X, les deux autres res vement par Y et par Z, puis ajoutons membre à memb vient
PX -i- QY -f- RZ = 0.
Posons enfin, avec Gauss,
D-= X»-^ +YÏ^ +1^ =a,.X'.-j,.Y'.«, ou" ùd" eu' »i7 ï
les troisièmes membres résultant des ideutiléa
Xx, + Yy^ -t- Zi„ = 0 Xic, H- Yy, + Zt„ = 0
différentiées successivement par rapport à u et à w, Av notations, l'équation (8S) pourra s'écrire
