__sa i, ,. (±±i^s

foriDuIe permettra si p est positif de diminuer d'unités s jusqu'à ce que l'exposant soit compris entre zéro et

est négatif» la même formule résolue par rapport & permettra d'augmenter l'exposant jusqu'à te com- Ekussi entre zéro et un.

ibe sous le sens que, si p est entier, on arrivera fina-

la forme

tégratlon est immédiate et donne

;ion de la formule (33) sera dans ce cas aussi rapide

qui résulterait des numéros préc(!deDts.

n vient de voir que, si p est entier, la différentielle

le s'intègre toujours. II existe deux autres cas d'inté-

pour les mettre en lumière, nous allons d'abord qu'on peut toujours supposer ii = 1. Posons en etiet

DES INTEGRALES INDEFINIES 37

II vient

Nous pouvons alors, pour simpliBer, supposer qu'on ait commencé par le changement de variables précédent et que, dans la formule (32), on ait

Elle devient ainsi

El cette formule de récurrence n'offre plus l'inconvénient delà formule (32); elle permettra, en diminuant ou augmentant d'unités en unités, de ramener m à être compris entre zéro et un. Si m est entier, on sera même ramené à intégrer (1 H- xydx, ce qui est toujours possible, quel que soit/) : on trouve en effet immédiatement

y,. +..)-.. =cL±^.

38. Un dernier cas d'intégration est celui où m + /? est entier. On a en effet identiquement

-fi^p

{i-^xyx'"dx= I l ) x"'-'^i'da)

soit p =z ~; nous poserons

d'où

X = , dx := ^ dy

et

et la dernière intégration se porte plus que sur une fraction rationnelle ; elle peut donc être effectuée.

A part les trois cas dont il vient d'être question, on ne peut pas ramener aux fonctions algébriques ou logarithmiques l'intégrale de ^'«(1 -h xydx (J. M. P. 1853, Tcliebycheff).

39. La transformation que nous venons d'employer réussit évidemment aussi dans le cas, à apparence plus compliquée, où l'on a une intégrale telle que

dans laquelle R désigne une fraction rationnelle et a, p ... des fractions numériques. Soit d un dénominateur commun à a, p...; on posera

ax -k- h ,

ex -\- d ^

et l'expression à intégrer sera rendue eAtièrement rationaeile.

40. Quelques exemples seront utiles pour éclaircir ce qui précède.

1^ Intégrer / ^ "^ ^^ "^ '[ dx.

On pose

et rintégrale devient

^ 3(y — i) ^ 3/^ H- îy -h 1 J -^

dont la valeur en termes finis est

^ + 2y» 4-3y2 H-4 log(y - 1) -+- log v^nT? -h ^--- arc tang /,

quand on pose

2^ Intégrer j»iw"x oos^'xdxy m ei p étant entiers Nous poserons

sin^o; == /,

ce qui transforme l'intégrale dans la suivante

««1 iL=i

et il est facile de voir que celte différentielle binôme est toujours intégrable quelles que soient les hypothèses faites sur la parité des lettres m et p. Nous donnerons d*ailleurs plus loin des moyens plus papides d'opérer dans ce cas.

Intégrales abclienncs

41. Les intégrales, qui viennent d'être étudiées sous le nom d'intégrales de différentielles binômes, ne sont qu'un cas

particulier d'une classe des plus intéressantes, que nous allons maintenant définir.

Soit

l'équation d'une courbe algébrique indécomposable, c'est-àdire que /(^,y) est un polynôme entier en x et y, non réductible à un produit de facteurs rationnels de degrés moindres. L'intégrale

P{x,y)dx ^ (38)

dans laquelle P désigne une fonction rationnelle et y une fonction implicite de x définie par l'équation (35) est une intégrale abélienne et l'on dit qu'elle est attachée a la courbe donnée (35).

L'élément fondamental de la courbe au point de vue de l'intégration est le genre^ que nous avons défini (tome I, n» 384).

4S. Consid(^rons par exemple les courbes unicursales ou de genre zéro. On a vu (I n** 385) que les coordonnées d'un point peuvent, dans ces courbes, s'exprimer en fonctions rationnelles d'un même paramètre : soient

En portant ces valeurs dans l'intégrale (36), la différentielle devient rationnelle en / et peut être intégrée. . Comme première application, supposons que la courbe (35) soit une strophoïde

tj\x + a) =: x\a — x), (38)

et cherchons à intégrer

^::t// dx. (39)

Pour cela il suffit de poser, dans Téquation (38),

y=tœ, d'où

a; = ap-^, y = ai ^--^^ rf.; = - 4a ^"P^^;^,

et

fv^i^=-^f\^-\

tdt

Or Ton a identiquement

(1 — 0(1 -h ty ~ 2(1 — t) (1 -h <«)* "^ 2(1 H- ty

Par suite, en tenant compte de résultats antérieurement calculés et remetl&nt t au lieu de /, on trouve

y étant une fonction A'x définie par l'équation (38).

43. Mais le cas particulier le plus intéressant des courbes de genre zéro est celui des coniques. Puisque ce sont des courbes unicursales, il résulte des considérations précédentes que Ton saura intégrer toute différentielle algébrique qui ne

renfermera pas d*autre irrationnelle qu'un radical de la forme y/flx" -^ bx -^ c ; car il suffira de poser

y = y/ax" -h 6j? -+- c

et d'exprimer 1^ deux coordonnées d un point de celte coniqae en fonctions rationnelles d'un même paramètre, ce qui sera toujours facile.

Soit par exemple à intégrer

doc

V/(X— l)(a7 — 2)' Posant

nous remarquerons que celte conique coupe Taxe des x au point dont l'abscisse est égale à Tunité, et nous ferons passer par ce point une sécante

Le second point d'intersection de cette sécante avec U conique a pour coordonnées

et l'intégrale devient

Sa valeur en termes finis est donc

^^ t— {— ^^ ^(^z-iyçi. ^^2) H- 1 — a,'

Mais le cas des racines carrées de trinômes du second degré est trop important pour que nous nous bornions à ce qui précède, et nous reviendrons sur les diflérents cas particuliers qui peuvent se présenter lorsque nous aurons achevé d'exposer les théories générales relatives aux intégrales hypereilipliques (voir n*' 51).

inlégniies «Wptiqties et hyperellIpMqties

44. La recherche des intégrales que nous avons étudiées jusqu'à présent ne nous a conduits qu'à des fonctions connnes que nous désignerons à l'avenir «ohs ie nom de ioncUons élémentaires (rationnelles et circulaires, logarilhmes, ex^MHien* tielles). Dans ce qui va mivre, nous serons amenés par Finiegration à introduire de nouvelles fonctions.

Le cas le plus simple qui se présente après les courbes de genre zéro est celui des courbes de genre un. On sait {n^ 291) qu'on peut faire corre6fM)ndre la cubique

à toute courbe de genre uriy de manière qu*à tout point de la première courbe corresponde un seul point de la seconde et inversement, les coordonnées de chacun des deux points s*exprimant rationnellement en fonction des coordonnées de l'autre. En d'autres termes, on peut remplacer l'intégration de toute différentielle algébrit^ue attachée à une courbe de genre un par l'intégration suivante

R(*/% ^'^v' — g^v — g^) de, (41)

dans laquelle R désigne une expression rationnelle. On pressent ainsi l'importance de ces nouvelles fonctions transcendantes sur lesquelles nous aurons à revenir plusieurs fois.

On appelle intégrales elliptiques celles dans lesquelles ne figurent pas d'autre irrationnelle que la racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré.

Dans les intégrales hyperelliptiques^ le polynôme sous le radical est de degré supérieur au quatrième.

féducUon des Intégrales hypcrelllpilques

, ËQ général il ne sera pas possible de ramener aux onB élémentaires les intégrales hyperelliptiques ni oit>nie légrales elliptiques. )1 est donc essentiel de savoir dimilutantque possible la difGcullé du problème et de classer ïment ces nouvelles transcenâanles. Nous verrons par lie que llntégration de toutes les intégrales elliptiques seulement l'introduction de trois nouvelles fonctions, atrons d'abord qu'on peut toujours supposer impair ré n du polynôme P„ soumis au radical. ignons par l„ l'intégrale donnée ;

a une racine de P,, ; nous poserons

i=:2p, on aura

suite l'intégrale sera remplacée par une intégrale de même avec un polynôme du degré 2p — 1 sous le radical, ersement si « ^ 2p — 1, et posant

.ouvelle intégrale contient sous le radical un polynôme trcî 2p.

DES INTRGRALES INDEFINIES 43

Nous n'avons pas tenu compte, dans ce qui précède, de la distinction des racines réelles ou imaginaires. C'est un véritable inconvénient, puisque nous n'avons pas encore défini les intégrales contenant des imaginaires. Nous aurons donc à revenir sur cette question dans les applications.

46« La quantité à intégrer peut évidemment s'écrire

A, B, G, D étant des fractions rationnelles en x^ et X un polynôme entier de degré 2n ou 2n ^ 1. On rend le dénominateur rationnel en multipliant, par C — D^X, les deux

termes de la fraction, qui prend ainsi la forme

Le premier terme donne une intégrale \^dx que nous savons effectuer; reste le second. Or, nous avons appris à décomposer FX en un polynôme entier ^jXkX^ et en une somme

de fractions de la forme 7 ' — 7. . Nous sommes donc ramenés

à deux types d'intégrales

)'Vx-

Nous allons montrer que si m est le degré de X, la première intégrale ou plutôt la somme des intc^grales analogues, est réductible à des fonctions algébriques et à des intégrales où les exposants A sont de degré inférieur à m — I. A cet effet,

écrivons le polynôme 2^*^'' ^^^^ ^* forme

2«fc^ = «i>^'' -^ /i»-i(^)»

p étant le terme de degré le plus âevé et f{x)^ l'ensemble des autres termes. Soit enfin

On aTidentité

g (^0 étant aussi de degré p — 1. Il en résulte, en intégrant,

Le numérateur du coefficient différentiel est maintenant de degré j9 — 1 et Ton conçoit que, par application répétée de la méthode, on arrivera à un polynôme de degré m — 2.

Cela posé, les intégrales / —t^, dans lesquelles k est

maintenant inférieur à m — 1 , peuvent encore être divisées en deux classes. Les intégrales de première espèce sont celles qui ne deviennent pas infinies avec x ; les intégrales de seconde espèce celles qui deviennent infinies avec x. Cherchons à les distinguer. Pour cela écrivons

v''x=...VÂ:(i+^-^i-+- )

ou, en appliquant la formule du binôme généralisée,

^wr^

DES INTEGRALES INDEFINIES 47

On en tîre

7ife{*-2-Â;i-^-y-'"'^=;è

le terme écrit étant le terme de degré le plus élevé de la série. L intégrale sera donc de seconde espèce si A > -g — 1 , et de

première espèce si k <i-2- — *> "* dernière inégalité n'excluant pas Tégalité, si m est pair.

Il est essentiel de remarquer que les intégrales de première espèce ne deviennent jamais inGnies, et que les intégrales de seconde espèce ne so&tinGnies que pour x infini. Gela résulte immédiatement du n° 17 dans le voisinage des racines de X, et c'est vrai à fortiori pour toutes les autres valeurs de x.

Al m — Considérons maintenant les intéorrales de la forme

dx

{x — a)VX

Deux cas sont à considérer suivant que X est, ou non, divisible par X — a. Revenant même un peu en arrière, parce qu'on nTa pas eu besoin jusqu'ici et qai'on n'a pas iminédiatement bescMii de supposer eonnues les racines des polynômes donnés, nous chercherons à réduire les intégrales de la forme (*)

"^ Vdx

Qî^/X

(*) Pour nous borner à cette forme, nous nous appuyons sur ce fait, bien connu dans Tétude des racines multiples, qu'on peut toujours, par de simples divisions, mettre un polynôme sous la forme QiQ^'-Qs^..., Qi, Qs... étant premiers entre eux. Il n'y a plus qa'à appliquer la fornulle (21) pou; avoir la fori&e du texte.

P étant de degré inférieur au degré de Q. Les deux cas à considérer sont celui où Q est premier avec X el celui où Q a avec X un diviseur commun.

Premier cas : Q premier avec X. — Gomme le polynôme Q n*a que des racines simples, il est premier avec 8a dérivée Q', par suite avec le produit Q'X et Ton sait, par la théorie du plus grand commun diviseur, trouver deux polynômes A et B tels que Ton ait identiquement.