D^TT
11 ny a plus mainienant qu'à répéter textuellement la méthode suivie dans le premier cas, sauf que Q est ici remplacé par D et pi par k-+- 0» pour obtenir une formule de
réduction analogue à (4i). Seulement ici l'exposant étant fractionnaire, on pourra faire fx = 1 , et la seule transcendante qui subsistera sera de la forme
/Pdœ ^ rPdx
Cette intégrale a été examinée au n^ 46, et dans ce numéro nous n'avons trouvé qu'une nouvelle transcendante, savoir
dx
qu'on appelle intégrale de troisième espèce.
48. Dans le cas où X est du troisième degré, il y a une intégrale de première espèce
une de deuxième espèce
l ^ xdx
DES INTËGRABES INDÉFINIES oi
SOIR peder^etlUntégrâle de trotéième espèce
I Çv — a) V £p^
~ 9^^ — ffi
40. Si X est du guatrième degré, nous allons faire voir qu'on peut toiyoucs supj)oser que c'est un polynôme bicarré.
11 est d'abord évident qu'en partant du radical \/ix^ — 9%^^ 9i on obtient la forme bicarrée par la substitution suivante a: = a H- f*, dans laquelle « désigne une racine réelle de
Réciproquement, si It est bicarré, en posant ./;*= :?, on retombera sur les formes du n^ 48.
Soit maintenant X quelconque du quatrième degré ; nous pouvons le supposer décon^po&é en un produit de deux facteurs réels du second degré, c'est-à-dire mis «ous la forme
X = {ax^ -i- hx -h c) (a'o?* 4- h'x -hc') ;
supposons de plus que, ^i ces facteurs ont eux-mêmes leurs racines réelles, ces racines ne soient pas enchevêtrées. NousTerons'la^siibëfîtution
,, = ït±,,f. (4e)
Il en résulte
^^ = (.-hr^ v"^
(u + i)= en posant
Y = [a{ay -^ p)^ -+- b{:iy + p) (y 4- 1) 4- c(y -+- 1)^] E<(» ^W-^KiW -^^W (i/ + i) + C'{y 4-"l)^]-
Tîxprimons que, dans chacun des crochets, 'le terme en y disparaît^ nous aurons, pour calculer a et p, deux équations
aaaP H- 6(a -h P) 4- 2c = o ) 2rt'a? 4- &'(« -t- P) 4- 2c' = o ; ^ ^^ '^
1 tire ip et a + ^. L'équation du second degré, qui fera aitre 3 et p, aura ses racines récites parce que la condîde réalitt!
{ae' — ca'y — {ab' — ba') (bc' — ci') > 0
ime précisément que les racines des deux facteurs qui }Osent X ne sont pas enchevêtrées. Nous avons donc ;i, par des substitutions réelles, à transformer une fonction nnelle en x et ^X, X élant un polynôme quelconque du legré, dans une autre Fonction Fatlonnelle en >/ etv^Y pour îUe Y est le produit de deux facteurs delà forme my' ■+■ n, -à-dire pour laquelle Y est un trinôme bicarré.
Y = >y' + (ly' + V. (48)
vrai dire, l'analyse précédente suppose que l'on peut a^ et a 4- ^ de (41), c'est-à-dire que l'on n'a pas
lis si cette dernière égalité avait lieu, eu posant dans X
aî -+ 2fl = y-
urait immédiatement
liatem< intégra
li est bien la forme (48).
1 voit alors immédiatement, d'après la classification du
i, qu'il y aura une intégrale elliptique de première espèce
DBS INTÉGRALES INDÉFINIES 53
et une de deuxième espèce
x*dx —. . (30)
L'intégrale / , ^ n'est pas elliptique, comme
on le voit en posant a?* = z.
Legendre, à qui Ton doit Tidée première de cette classification des intégrales elliptiques, ramenait toujours la quantité soumise au radical à la forme canonique
(1 — aj*)(l — k^oc% (5i)
k^ étant inférieur à l'unité. Pour obtenir celle forme à un seul paramètre^ il était nécessaire de multiplier la variable par un facteur que Legendre appelait le multiplicateur. EnBn cet illustre auteur avait été amené, à prendre comme intégrale type de deuxième espèce, non pas la forme (50), mais
et comme intégrale de troisième espèce
dx
(1 4- mx^) /ÎT^ X*) (i ~ k^x'') *
Comme on a identiquement
on voit que l'intégrale de deuxième espèce de Legendre se
Si- CHAPITRE l
rattache de la manière la plus simpleacnc typas^ qui résultent de la classifîcalion générale.
50. Nous allons montrer qu^on peut toujours par des transiormations réelles ramener le polynôme (48) à la forme canonique (51), sauf, bien entendu^ le cas où ^^j [j^ et v seraient tous les trois négatifs. Encore dans ce dernier cas I^ et I2 étant purement imaginaires, on pourra en meltani ^/ — i en facteur
faire rentrer ce cas dans celui où tous les coeificienis sont positifs..
Sup{)afiona le polynôme bicarré^ soumis au radical, dÀ5coniposé en un produit de deuxJacteur& réels
On peut toujours supposer a > 0,. puisqu'on, aurait le drxût de changer tous les signas dans les daux.faQtûursrde X.. Posons alors
ax^ '-i-b = t*,
d'où
axdx = tdl^
et
dx = -.--^—-
L'intégrale elliptique dfe première espèce dbvient
dV
y'(/î 5) (a'fi'--ha'^ Ob')
Le facteur ax* -h b se trouve remplacé par le faclour t^ — b où le second terme a changé de signe. Nous pourrons donc toujouns supposer que le^piwiiier facteur a- se» raoÎQBs oéellafl :
DES INTÉaftALUS INDEFINIES 55
désignons le par x^ — a*, et nous n'aurons que quatre types différents
La substitution
suivie d*«a changement de signe des denx fadeurs qui corn- {H)9ent X, ramènera les deux derniers types aux denx premiers. £ntln une substitution analogue à celle déjà employée,
ramènera la première forme à la seconde, à laquelle nous pouvons donc limiter notre examen. Nous l'écrivons, après suppression d'un facteur positif constant,
a et 6 ne sont pas égaux, sans quoi X serait un carré parfait et ^ serait rationnel. Soit
Il vient
X = (I — A**«x«) (i — 6«jr»).
Une dernière substitution,
donnera
ce qui est la forme canonique.
Quant à l'intégrale de troisième espèce
dx
il sufBt de multiplier les deux termes de la fraction par x -\- a pour apercevoir qu'elle est la somme d'une fraction intégrable et d'une intégrale de la forme adoptée par Legendre pour t)'pe des intégrales de troisième espèce.
Posons 07 = sin o ; ces trois types deviennent respectivement
= / rf-pvT^
I, = 1 df\/l~ A'8in»<p
(1 -i-wsîn*o) y/l — A*sin*<j>'
Remarque. — Si ^ = o les intégrales elliptiques se réduisent aux fonctions circulaires
Ij = <p = arc sin 0?, Ij = arcsina7, Ig = -= arc Ig (v^l -h m lg<p). De même si k* = 1, on trouve les fonctions logarithmiques
I, = — log ïg (j — Ij, I3 = sin g, Ï3 = IZZT- log fE^ + '(p^, log (1 + X).
DES INTËQBALCS INDEFINIES 57
51. Exercices. Oa peut souvent réduire aux intégrales elliptiques des intégrales à apparence hyperelliptique. En voici quelques exemples.
Les deux intégrales (*)
(x)dx / F(x)dx
peuvent être ramenées aux intégrales elliptiques par une des deux transformations
a^^ = p séc^tp — Y tang'o .^•* = p cos'cp H- f sin^<p,
après qu'on les a transformées, par des procédés analogues à ceux qui viennent d'être employés, de manière à les mettre sous la forme (p > y)
f{œ^)dx
V ± {x^ — P) (x^ — Y) Vdo {x' — mv' — Y)
f(x^)dx
La substitution
ramène l'intégrale
dx
Vî
à la forme elliptique (Serret, calcul intégral 18^8 p. 65). Enfin les deux substitutions successives
X= a, y/{z -i- Ol) (Z -^ ^) = du,
(*) M. DR Sparbb, Anna\e% (k la Société scientifique de Bruxelles, T. XXI, H- partie 1897.
k - -wm^i
•iS CHAPITRE l
ramènent F intégrale
dx
V (.'.• -i- a)\x -h by{jc -H cy
à la suivante
r (hi
dans laquelle
oL=n c — a, ^ = b — a.
SS« La méthode de réduction des intégrales hyperelliptiques s'emploie avec succès dans les intégrales où la seule irrationnelle est un radical portant sur un trinôme du second degré. C'est même le plus souvent la méthode la plus rapide pour arriver à l'intégration. Nous pouvons donc considérer seulement l'intégrale de première espèce
\^aa)^ -h bx -^ c
et celle de troisième espèce
/ (jj — x) yax^ -4- bx
On voit d'abord que la dernière se ramène à la précédente en posant
il en résulte en effet
iix — — ^y
et
/ yja-^by -^cy^
Nous n'avons donc qu'à considérer I^ et à indiquer^ suivant la nature des racines du trinôme, le procédé le plus propre à effectuer dans chaque cas l'intégration. On peut d*abord, dans tous les cas, écrire le trinôme
h Y iac — b*
par suite, en prenant j: + ^- pour variable, on aura trois
formes distinctes ;
Suivant la. méthode indiquée au n^ 43, nous poserons, pour ijilégrer les deux psemières,
ce qui revient, au point de vue géométrique, à couper la courbe tt* = /* d= «* par une parallèle à une asymptote. On en tire
Lfis deux intégrales deviennent ainsi
J ^wk:- = -J T = - i»s ' = - '"S ('T'
u enfin, en supprimant la constante log a.',
7ji-''^i = '»S('+l*±«T- (52)
Si le trinôme sous le radical est réductible fila former* — t*, ous poserons
l = a gin Q, d'où dt ^= » cas fd^,
/di . t
-,- =- -- =: arc sm - .
53. Nous avons opéré sur les formes réduites auxquelles n est conduit, en dernière analyse, par l'application de la léthode générale. Mais il est clair que les changements de ftriables effectués sur ces formes réduites auraient pu être pérés dès le début sur l'expression
K{x, \'ai
!i R désigne une ioaction rationnelle. Le résultat auquel on ■rive est une fonction rationnelle de la nouvelle variable, sauf )ur la dernière substitution qui introduit sin « ; mais on sait l'on peut exprimer les lignes trigonométriques d'un même
DES INTEGRALES INDÉFINIES 61
angle en fonctions rationnelles d'un paramètre par les formules
2du l i^')
«°"p = rT¥»' '««'? = riFir«' 'K? = T^ri?
do =
On peut donc considérer Firrationalité comme ayant entièrement disparu dans tous les cas.
AQn de réunir tout ce qui concerne ces fonctions, rappelons la méthode du n^ 43 qui suppose connues les deux racines a et P du trinôme aœ^ -+- 6jc -+- c ; on pose alors x — a = (x — P)/^
