Nous donnerons quelques exemples
i^ Intégrer
Nous effectuerons la substitution employée au n® 51.
X = ces <f , dœ = — sîn cprfcp. L'intégrale devient
«|rf<P
= I (ces cp — i)do = sin cp — ç.
et enfin
I = v/l — X- — arc CCS x (55)
La méthode du n^ 43^ appliquée au même exemple, donne le calcul suivant :
On pose
CHAriTRE I
d'où
X *~'^ dx — *y<'v
dy
La dernière intégrale a été calculée (Tormule 20) ; on a donc
I==~2arctangy4-^p^^= — 2arclangy|-^-^+V^l — A^
ce qui est la iormule (55) sons une autre forme.
Cette méthode s'applique d*aiileurs toutes les fois que la diiïérentielle ne contient pas d*autre irrationnelle que
X — b' 11 suffit alors de poeer
2*^ ÎSoit encore à intégrer
Nous poserons, comme au n<^ 51,
V^i -h x'^ =x -\- Zj ce qui donne
y/rt* -f- ^'^ =» a — 6^ — v'V^' — b-
D£S INTéGfiALES INDEFINIES 63
il n*y a pins qu'à remplacer dans le second membre z par v/l — x^ — X.
Réduction des intégrales abéliennes (*)
S5w — Les intégrales, d'une nature plus compliquée, que nous avons déBaies au n^ 41 , ne peuvent pas, en général, être ramenées à des intégrales élémentaires. On peut du moins essayer, comme cela a été fait pour les intégrales hyperelliptiqueSy d*en opérer une classification et de ramener certaines d'entre elles à d'autres analogues.
Soit
= / Hx,i/)dx
1= / F{x,y)dx (58)
rintégrale attachée à la courbe indécomposable.
Nous supposerons que cette courbe est de degré m et qu'elle n'a aucune asymptote parallèle aux axes, ce qui exige simplement que les axes de coordonnées aient été convenablement choisis ; enGn nous supposerons que les points à Tinilni soient simples, ce qu'il est toujours possible de réaliser en faisant une perspective de la courbe. Ces hypothèses reviennent à dire que Tensemble des termes du plus haut degré est de la forme
(«!•'-' -h Piy)(aia: 4- Pay) (c^m^ -f- ?»,«/),
ft.
aucun des nombres a,, Py n'étant nul, et tous les rapports ^ étant
distincts.
Cela posé, soit une fraction rationnelle définie par Tégalité
(*) Les no» 55 à 59 peuvent être passés à une première lecture.
on peut toujours supposer que le dénominateur ne contient que la variable x. On démontre en effet en Algèbre que, si A et B sont deux polynômes en y premiers entre eux, on peut trouver deux autres polynômes en y, U et V, tels qu'on ait identiquement
AU -f- BV = K,
K étant indépendant de y, La démonstration est absolument la même lorsque les coefficients des polynômes A, B, U, V, renferment une autre variable œ. Si donc on appelle X une fonc-
tion de x et si Ton suppose que *^{x,y) est une fraction g, on
pourra trouver deux polynômes U et V entiers en x Qi en y et tels que
ou, comme, par hypothèse, / {x,y) = o, tels que
