BU=X

on aura alors

,, . A AU AU H-^^y) = B = BU = IT'

et

Finalement, si Ton di^compose j? en éléments simples, on

voit que toute intégrale abélienne peut ôtre considérée comme provenant de deux types d'intégrales,

i.= I J*Kv)^^ ,t j

dans lesquelles le numérateur est un polynôme.

56. — Nous allons essayer de réduire les intégrales de la forme 1,. Soit p le degré de P, P, Tensemble des termes homogènes de degré p dans P, <f{x,y) l'ensemble des termes homogènes de degré m dans /(^,y). Nous allons démontrer qu'on peut toujours ramener le degré du polynôme P à être au plus égal à 2m — 4.

A cet effet nous déterminerons un polynôme homoo^ène X(a:,y) tel que là différence I» — X puisse être mise sous la forme d'une intégrale de même forme que Ii, mais avec un numérateur de degré p — i. Nous remarquerons pour cela qu'on peut écrire

or.

^^ — '^X-t-'/xAy — A^ — ^Ay,

en verlu de l'équation f[x,y) = o ; on a donc

et

L'ensemble des termes du plus haut degré dans le numérateur sera

PlO^'.!/) - {Ko'y - l\rr\) (61)

à condition que le degré de X soit p — m -\-2; nous devons disposer de X de manière à faire disparaître ces termes. Le

Calcul inpiRiTÉsiMA 5

5e CHAPITRE I

théorème d'Ëuler relatif aux fonctions homogènes' donne l'identité

xk'x -H y^'y = (/) — m -h 2)X,

et l'expression (61) devient

ou

a?P, — (p — m -h 2)Xy^y -f- mtfk'y

Si cette expression est divisible par 7, en appelant Q le quotient et retranchant du numérateur de l'intégrale dans (60) le produit QX/ qui est nul par hypothèse , on aura réussi & faire disparaître^ dans (60)» les termes de degré p. Tout revient donc à exprimer que l'expression (62) est divisible par <p ou, comme f ne contient pas x en facteur, que

a?Pi — (p — w -H 2)X(p'y,

s'annule identiquement lorsqu'on y remplace x par les m racines — - y de ? ; il faut pour cela que X contienne m coef-

ficients au moins ou que son degré p — m + 2 soit supérieur ou égal h m — 1, ce qui donne

p — m -^2^ m — 1 ou p> 2m — 3.

Ainsi Ton pourra diminuer le degré dans les intégrales It tant qu'il sera supérieur à 2m — 4, ce qui démontre le théorème.

Sm. Le cas où le dénominateur contient une puissance de X — a est plus compliqué ; il se subdivise immédiatement en deux, suivant que les m points d'intersection de la courbe f{xyy) avec la droite .r = a sont distincts ou non. Nous ad-

DBS INTEGRALES IND^FimES 67

mettrons comme démontré (*) le lemme suivant : toute courbe *[x,y) = 0^ passant par les points communs aux deux courbes fix^y) = 0 et gix^y) = 0, peut se mettre sous la forme suivante dans laquelle A et B désignent deux polynômes en or et y

lorsque les points communs sont simples sur chacune des courbes; en d'autres termes on a, dans ce cas, aux points de rencontre des courbes 4» et /

B étant un polynôme en x et y.

Cela posé^ supposons d'abord que la droite x=ane touche la courbe f{x^y) en aucun point. Nous allons, par analogie avec ce qui a été fait précédemment, chercher un pol3môme X(jT,y) tel que

^(x.y) ^^ Hx,y)

devienne une nouvelle intégrale où le dénominateur ne contienne plas X — a qu*à la puissance a — 1. Comme Ton a

(a? -a)"-' / «to U» — «;•- *J

dx

I (^-a) (X'x/l' - KfJ) -(«-!) y;

ar/

{X - aff.

dxy

{*) NôTHER, Math, Annalen^ t. VI, p. 352.

la différence précédente s'écrira

Pour que le numérateur soit divisible par x — a (en tenant compte de la condition fir^y) = 0), il sufQt que

le soit. Or, d'après le lemme, si la courbe

passe aux points de rencontre de la courbe f{x^y) avec la droite a: = a, on peut toujours mettre

p + (« - mj

sous la forme d'un polynôme en ;r et y (formule (63). Il sufût donc d'exprimer que la courbe (64) passe aux points précédents, ou que le premier membre de (64), dans lequel on a fait j: = a, est divisible par /"(a,y) ; ces conditions s'exprimeront sans peine, si l'on a choisi pour X un polynôme de degré m — 1 en y seul, parce que fy{a^y) est différent de zéro.

On pourra appliquer ce procédé de réduction tant que « n'aura pas la valeur un.

58. Considérons enfin le cas où la droite x z= a esi tangente à la courbe /(^,y)f au point (û^yj, les autres points (^>ys)» i^iVÙ" y(^>ym-i) étant différents et distincts. On a alors fy^{a,y^) = 0, et le raisonnement précédent n'est plus applicable.

Nous retrancherons alors de l'intégrale à réduire la quantité.

(a7-a)(XV,/^)V,0-aX/;/

{X ^ar + y;

et nous essaierons de déterminer X de manière que

(x a)P(^,y) -h aX^; -{x^a) (X V; - VjJ) (65) soit divisible par (x — a)*.

aX/ '

Il faut d'abord que ^^-^ puisse se mettre sous la forane

d'un polynôme, en tenant compte de la condition f{x^y) = 0 ; comme Âi(«,yi) = 0, nous pouvons prendre

X = (y — y,) {y — y^) (y — 2/m-.i)Ky), (66)

(jt(y) étant un polynôme en y. La courbe X/'y = 0 passera bien par les points communs à la courbe /et à la droite x = aj le point (a,y,) comptant pour deux, et en vertu du lemme

(formule 63), ^~-^ sera un polynôme en œ et y. Il faut ensuite que

puisse être à son tour mis sous la forme d'un polynôme, ou que la courbe

passe par les points communs à / et à la droite x =z a, et touche cette droite au point (^,^1). Exprimons d'abord que la courbe (67) passe aux points (a,y,), (a,yj)... («,ym-i)- Pour cela, il faut remplacer, dans l'équation (67), X par sa valeur (66), ce qui donne

(y — 2/1) (y — ya)--(y — ym^iy{y)fJ ) (68) ^ \^{y)f:! ^ (y — yi)-.-(y — y«- 1) = o.

Lorsque nous ferons x :=. a^ y zi=z y^ le dernier facteur

devient (y^ — y,) (y» — y^)... (y, — y,„^ ,) ; quant au second terme, il renferme une expression, en apparence indéterminée

dont nous allons chercher la vraie valeur. L*équation de la courbe attachée à l'intégrale peut s'écrire en appliquant la formule de Taylor et en tenant compte de ce que, par hypothèse /(a,yO = 0 et /;(«,yj = 0

f(x,y) == 0 = (rr - a)rJ(a,y,) ^ i (a? - a) VV(a,yi)

-h (4P — a)(y - yO/%.y(a,y,) H- g (y - yi)Tya(a,yi)

On a de même

fyi^^y) = (^ — «)A.v(«»yi) -+- (y — yiy»,y (««yi) -*- -

et, en tenant compte de (70),

^•^ ^J^i'"'^^ = - 2rx'(a.yi) - (^ - «)//(a.y,)

— (y — yi)rxi/(«>yi) -^ -

La vraie valeur de (69) est donc

~ 2/;'(a,yi)

et la condition cherchée s^écrit P(«>yi) -^ (* — 2a) (yi -- y,)...(yi — ym-i) fJia,y,)^,) = 0.

Comme, par hypothèse, le point {a^y^ est simple, /^'(a.yi) n'est pas nulle, et l'équation précédente fait connaître ^yx). De même, en faisant dans Téquation (68) a? = a et y = y„ on trouvera

P(«»yi) -+- (1 — «) (y> — yi)...(y, — ym- j)/;'(«,y,)Ky,) = O;

cette équation déterminera H^(y,), à condition que fj{a,y^ ne

DES INTÉGRALES INDÂFINIBS 71

soit pas nulle, c'est-à-dire à condition que la tangente au point a^y^ ne soit pas parallèle à ooo ce qu'il est toujours possible de réaliser par un choix convenable des axes. Voilà donc déjà

Kyùf Ky»)— Kym-i)

déterminées ; il reste encore à exprimer que la courbe (68) touche la droite â? = a au point (a^yj, ce qui déterminera (x'(yi). A cet effet, exprimons que la dérivée par rapport à y du premier membre de (68) s'annule quand on y fait x = a^y = y^ ; on voit sans peine que le coefficient de ii'(j/^)f le seul intéressant à considérer, est

2(1 — «) (y, — y,) (yi — y»). ..(yi — y». - i)/i'(«.yi).

Ce coefficient n'est pas nul, tant que a est diflérent de Tunité. On pourra donc déterminer fji'(yi). On est enfin ramené à un problème tout à fait simple d'interpolation, à savoir : déterminer un polynôme (^(y) connaissant les valeurs qu'il prend pour y = y^, y,...yM i, ainsi que la valeur de sa dérivée pour y = y^. Soit, par exemple, v(y) le polynôme de degré m — 2 fourni par la formule de Lagrange (27) et qui prend les valeurs données pour y = y^, y,... ; on pourra prendre

Ky) = ^) -H c(y — yi) (y — yi)-(y — ym-i),

la constante G étant déterminée par la condition H'(yi) = v'(yi) -H C(y, — ya)...(yi — ym -i).

50« Le raisonnement du n^ précédent tomberait en défaut si l'on avait fj(a,yi) = 0, c'est-à-dire si le point (a,yi) était double. Il faudrait dans ce cas retrancher de l'intégrale abélienne une fraction rationnelle de la forme

X(â7,y) étant un polynôme à déterminer. Nous ne donnerons pas le détail du calcul qui se trouve dans le Traité d'analyse de M. Picard, tome I ; ce qui précède suffit amplement pour faire

comprendre Tesprit de la méthode, et nous admettons conome démontré que l'intégrale

dx

peut» par la soustraction d'une fraction rationnelle convenablement choisie, être ramenée à l'intégrale

^A^^,dx

{X — a)fy'

0 désignant encore un polynôme. On peut même supposer que la plus haute puissance de y dans ce polynôme soit y"*~S en tirant 2/'" de l'équation f{x.y) = 0 autant de fois qu'il sera besoin. Enfin l'on peut écrire

et Tintégrale précédente sera une somme d'intégrales telles que

{x — a)fy

', dx

où R(y) est un polynôme en y de degré m — 1 au plus.

Intégration des fonctions rationnelles de stn ap et de cos ap

60. Les fonctions trigonométriqueSb de sin x et de cos œ se rattachent immédiatement aux fonctions algébriques. On sait, en effet, qu'il suffît de poser

tang 2 = *»

pour exprimer sin x^ cos x^ tang x en fonctions rationnelles d'un même paramètre t; les formules de transformation sont

sin^ = j-p^, cosj?=p-^2, tga: = |-— j2, c?a? = j~p^ (71) L'intégrale

R(siQ 00, cos a?)c^^

est donc ainsi transformée en une iatégrale de fonction rationnelle.

Soit, par exemple, à intégrer

sin œ'

La transformation qui vient d'être indiquée donne immédiatement

I = / Y = log t = log tang |«

61 « Il existe d'autres procédés, souvent plus rapides, pour arriver à Tintégration des expressions trigonométriques. D'abord il sera toujours possible, par les mêmes moyens que ceux employés pour rendre rationnel le dénominateur d'une fraction, de n'avoir au dénominateur que des puissances paires de sin^ret de cos a?; par suite, on pourra toujours ramener l'intégration à celle des trois intégrales suivantes :

7\ dx.

■TK ~ ^^-■. ^

/PjSio xdœ

/P.cos xdœ

dans lesquelles P^,?, et Q|,Qs sont des polynômes ne contenant que des puissances paires de sin x et de cos x, tandis que P est un polynôme où les puissances peuvent être impaires , mais où le degré total de chaque terme en sin œ et en cos x est pair.

Gela posé, pour intégrer I^, on posera

lang a? = ^ doù

t i y dt

Sm X = ■; . , cos X = ••- , CfO? = ï"

Il est évident que la différentielle q dx sera transformée en

une différentielle rationnelle.

Pour intégrer Ij, on posera

cos œ= t d'où — sin xdx = dt ;

enfin, pour intégrer I3, on emploiera la substitution

sin j; = ^

Soit par exemple, à intégrer

j a SI]

sin a? -f- 6 cos x

DES INTEGRALES INDEFINIES 75

Cette intégrale peut s'écrire

(g si g a? — b cos x)cbis a'sin'j; — b^cos*x

œdx 6*co8*a? *

/sin xdx , / COS a?

a'sin'o? — 6'cos*5 / aHin^x —

et Ton voit sans peine qu^elie a pour valeur

(COS œ , \ (sin x + )

*vw -I- u /^^g ^ \ (sin a? )

Si Ton pose

-7— = cos 9, . = 8in ç,

la dernière expression prend un aspect plus élégant

;=j:L=jlogtang^.

On aurait d'ailleurs pu introduire l'angle cp dès le début ; l'intégrale aurait pris la forme

i« -H 6» / sîn (a; -i-

et Ton reconnaît ainsi l'intégrale qui a été calculée au n° précédent.