Les intégrales

76 CHAPITRE l

méritent une étude spéciale. Nous avons déjà dit (n** 40) qu'elles pouvaient être rattachées aux intégrales de différentielles binômes irrationnelles.

On peut encore, en remplaçant un certain nombre de fois les expressions sin px sin qx^ sin px cos qx^ et cos px cos ça: par des sommes ou différences de sinus et de cosinus, réduire l'expression précédente aux intégrales

sin kx dx et / cos kx dx

qui ont pour valeurs respectivement

«— T ces ?ix ei y sin kx.

Mais il est plus élégant, et la plupart du temps plus rapide, d'opérer sur les intégrales I^.„ une réduction analogue à celles que nous avons déjà plusieurs fois effectuées.

Nous écrirons

d'où, en intégrant par parties,

w sîn*" +

et, comme

sin»»+*a? = 8in"»a7 (1 — cos'j?), j 8in"'-^*a? cos"-^a? ?i — 1 r, . -i

On a donc enGn

y sin^ + ^x cos"-*^? n — 1 , ,-^v

DfiS INTÉGRALES INDÉFINIES 77

L'application répétée de celte formule permettra de réduire r intégration au cas où n = 1 ou au cas où n = 0. Si « = 1, l'intégration est immédiate :