f 8in'"a? ces X doç
,,j = / 8in'«a?
Si n = 0, on est ramené à intégrer "^
/ sin^^i^
J, = / sin^^i^? (ia?.
Pour cela, écrivons
en intégrant par parties la dernière intégrale, on a
^m"*"*a? I sin'"~*r. sin
r CCS ^ -h 1 r
m — 1 / in ^ \
et en portant cette valeur dans la formule précédente, on obtient
, , sin"*-"^jr CCS x i ,
Jm — Jm-2 m^S. m — i''"*'
d'où la nouvelle formule de réduction
j = j sin'"" ^x ces x (73)
Cette formule permettra de ramener l'intégration à celles
qui correspondent aux cas de m = 0 ou m = 1, et qui sont immédiates :
n est clair qu'on aurait pu procéder de même en commençant par diminuer l'exposant m dans !„,„ ; on anrait alors rencontré des intégrales, telles que / 008"^ dx, qu'on aorail traitées comme J„.
Remarquons eafîn que la formule (72) pourrait être employée comme formule de réduction dans le cas de n négatif: û suffirait de la résoudre par rapport à I„,„,,. Même observation si m est négatif.
63. Une dernière méthode consiste à introduire les exponentielles imaginaires par les formules connues
Le coefficient différentiel devient alors fonction rationnelle de e" et peut s'intégrer comme on le verra dans la section suivante. Nous nous bornerons ici à déduire des formules (74) les expressions de cos^x, sin^x en sinus et cosinus des multiples de l'arc.
On a en effet
Or la première formule (74) donne
gmir j. g— mil = 2 C03 mX;
DBS INTéORALGS INDÉFINIES 7 9
on aura donc
2m — I cos"*âT=cosiitr +mcos(m — 2)x-\ — ^ a""- ' cos(m — 4)x4-, . . (75)
et dans cette formule le dernier terme devra être divisé par 2, si m est pair.
De môme
8in"«a? = 2^
Si m est pair, on aura, en ayant toujours soin de diviser par 2 le dernier terme,
(— 1) * 2"— *8in'"jp = cos mx — m cos(m — 2)0? ^
tn^m — 1) / i\
— = — 5 '■ 008 (m — htyx ;
Si m est impair, on aura
( ... 1) « J"»- *sin'"j? = sin ma? — m sîd (m — 2)x .
. fn(m — 1) . , .V l \ )
-*- ^ . ^ — ' sm (m — 4)0?
A t'aide de ces formules, l'intégrale Im,n du n^ précédent est immédiatement ramenée à des intégrales telles que
sin px cos qxdXf 1 cospx cos qxdx
et comme
2 SÎD px cos qx = sin (p -h q)x -f- sin (p — q)x, 2 COSpO? cos j'O? = cos (p -H 5r)j; -|- cos (p — çja?,
rintégration peut être considérée comme achevée.
:gj U cosTj; -i-gcos5j; — 2cos3a;-t-6co8:rJ i
OÙ figurent des exponentielles ou des logarithmes
iDt«5gra]e ne contient qu'une expression rare aucune difficulté. On posera
légrer sera devenue une expression rationaant à intégrer
I„ =: I fx"'cUe.
parties, on aura
e de cette formule conduit rapidement à
.(■■" — m '■■'-' -h ni(m — i)j-"'- *..-]
mnw. I ^ "
OO. Considérons une expression telle que
e"R(x)dx
où R(:r) désigae une expression rationnelle, qu'on sait, pai conséquent mettre sous la forme
Les intégrales jj;"'e'rf;r ont élé étudiées dans le n° précédent Il reste à examiner
L'intégration par parties donne d'abord
rties dônn
J (x-„)> ■■ '-•i.-a)'- '-'J (> el cette formule de réduction permettra d'arriver
Posons
..: = a + « d'où d.,- = il; n n
OQ est ramené à
fi
transcendante nouvelle ; elle prend le nom de ntégral lorsque la constante d'intégration est le manière que cette transcendante s'annule
lieu d'exponentielles, on a des logarithmes, oa s aux précédents en posant
« = e", dx = 0idy
DES liNTEGRALES DEFINIES
Des Intégrales déflnies dont la valeur s'obtient
en appliquant la déflnition
67. La définition donnée au n^ 1 du chapitre précédent permet d'obtenir immédiatement un grand nombre d'intégrales. La valeur étant indépendante de la loi suivant laquelle se succéderont les valeurs de x dans la somme à calculer
^{^i^.-coi^m (S)
on profitera de cette latitude pour fixer une loi qui permette d'effectuer cette sommation.
68. Nous allons donner quelques exemples de cette manière d'opérer.
1° Soit à calculer
el^dx\
on divise l'intervalle de o à or en n parties égales et Ton pose
CHAFITHB II
le (1) devient
h tead vers zéro, la dernière fraction tend vers i
e'dx --. c — 1
lU de prendre des valeurs de x qui se suivent en 1 arithmétique, on peut diviser l'intervalle de ma- )8 termes se succèdent comme ceux d'une progrcstrique. On posera alors
b = aq", Xi+, ^ qXi, îj =; Xi,
e (1) deviendra it à intégrer
î) donne
mmm
mtmt^mi ji i .--r-
OU euùa
/dx , 6
3' Dans les deux exemples précédeats, on connaissait l'intégrale indéfiDie ( f(x) dx. Voici un exemple où elle est inconnue : soit & calculer
I =: I log sin X dx.
Nous partagerons l'iatervalle de zéro à ^ en n parties égales e^t nous poserons
de sorte qu'on aura par défiDition
ou
I = ^HmllogII en posant
Or on a évidemment
sin (n A) ^ = sin (« -t- A) ^
sinA^ = cos(«-A)^.
iuLte, en multipliant TT par la même expression
le on a écrit les facteurs en ordre inverse,
n)=n =ït. n "«•=•
ir produit se calcule sans peine, il suffit de former |ui donne sin ~ connaissant sin n = 0 : le produit de cette équation, après suppression de la racine le produit cherché. On trouve ainsi
éduit
^ tbg>.-(»-.()log3
I log sin X
da; = — s log 2
i^ Voici un dernier exemple. L'intégrale
1=1 log (1 — 2a cos œ -h a*) dx
a été calculée par Poisson. On a par définition
n-l 1= lim y -flogCl — 2a-ha»)-|-log(l— 2acos^-hoi«-4-... I
= jL^ j '"S n„'
en posant
TT = (1 — 2a + a») (l — 2a COS - + a') ... (i — 2a ces h a*)... (1 — 2a ces — '^^— tc -4- a*).
Or on démontre aisément que ce produit est égal à
on a donc
1= ,i„ ;iog(-"'-M(«-zii)
Si I a I < 1 , nous écrirons
'=ni"j[''^î^->''^^'-^
et l'on a évidemment
ire Ifr mcNlale de s est snpériear à l'anït^, noas
lim ^ flog |^=-| -^ U^ (i--' - 1 1
^ loç f>»-— I) = lim ^ 1o-> i'- ( I — ~\
1 = = log x> (4j
bode employée dans le n" précédent ne peut las £lre appliquée sans corrections dans le cas îles de l'intégrale devient infinie, puisque l'on tervalle fixe à diviser en parties dont le nombre ûte aa-delà de tonte limite. 11 faudra examiner raie
i)tLc
croître  & l'inGni. L'intégrale précédente devra e limite, ou encore l'intégrale
f{xydx
ers zéro lorsque A et c croîtront indéfiniment. neronB en premier lieu une intégrale célèbre
1= / e-'^ dw.
[imite de
DBS INTÉGRALES DÉFINIES 89
= 00 , si / e-'^^da
pour 6 = oo , si / e-'^ dx tend vers zéro pour 6 et c infinis,
Par définition la première intégrale s'écrit avec nfi = 6, et la deuxième
lira y 7irô-*'-H6-(^ + ")'-H...
Or, dans celte dernière somme, on a
d'où Ton déduit
/ e-'^dœ < e-^' lim 2 ^ [* "^ ^~'' "^ ^^*'' '^•••]' Jb ^ = "
la somme dans le crochet étant prolongée à l'infini ce qui ne peut que l'augmenter. Cette somme, que nous appellerons S, est finie, comme on va le voir : elle peut s'écrire
en posant
e-^^ = q et /'(<^)= 1 -+- g -h^z* ^-...+ î"*^-... Désignons par [v/n] le plus grand entier contenu dans v/n, et comparons les deux séries, divergentes pour 3^ > 1,
CHAriTnB 11
ette dernière série, )e coefficient de q" peut s le la formule de Wallis (n" 79),
,),/2s^rr = '^(i-
lant vers zéro pour n — oo. Le rapport des coefficients
8 ifiq) et dans ¥{q)
DUr limite ^, i^n, el, par suite, d'après un thcorèine ), le rapport des deux st^ries a la m<ime limite. On a faisant tendre q vers un
^0 ^ lin, ./T^T^ /-(y) ^ l y^i.
lie deux séries ordonnées suivant les puimancei ascendantes (Fiine ■ sont divergentes el que te rapptnt des coefficients d'une même ! la lettre ordonnatrice a une limite, te rapport de la somme des termes a la mime limite lorsque n croit à l'infini. En effet daiis le rapports égaux ou inégaux
B entre le plus grand et le plus petit de ces rapports. Si donc
DES INTÉGRALES DEFINIES 91
Il en résulle,
S = s V^iT lim = ^ \/i,
Cela posé, on a
si l'on fait croître h à Tinfini, le second membre tend vers zéro, donc aussi le premier^ et Ton est fondé, dans la somme (5) qui sert de définition à I, à faire croître h à Tinfini, c'est-à-dire que
hz=0 ^^
n est assez grand pour que le rapport des termes de même rang des deux séries divergentes,
difTère, pour cette valeur de n et pour les valeurs supérieures, de sa liinite / d'un nombre inférieur à s, on pourra écrire
I . ^ Orna?" -I- an + 1^?'* + ' -I-...-J- an4-i>a?^^^ ^ i ^ .
Soit ÎJ<,x) la somme des n-f-p premiers termes de î(x) et «p/«) celle des n 4-' p premiers termes de «p(ar), le rapport intermédiaire pourra s'écrire
OU
Çi-'^^) — (*« + *i^ +•••+ ^'n-io?"-»; *
f (x) i — ^^ + ^1-^ +•■-}- a»-ia?"-*
Gomme la deuxième de ces fractions tend vers un pour p = c» , on voit que ^W sera compris entre l — z et / -f e, ce qui démontre le
théorème.
aembre est prtïcisément S ; od a donc enCn
■''dx = y v'i. (6)
<gre, par ua raisonnement analogue,
ntrerons plus loin (série de Fourier) l'identitë, Je h est compris enire 0 et 2it,
a immédiatement
9m œ j it ,.
tarquer que le produit de la fonction à intégrer ! tend pas vers zéro pour x infini, et cependant
ne limite : cela tient à ce que la fonction change ombre infini de fois.
;rale
1 = la précédente en intégrant par parties
en il
ï-i» /^sin 2 •^0
7!8. Dans les exemples précédents, on a pu effectuer directement les sommations. Quelquefois il est commode de commencer par établir des inégalités qui permettent d'enfermer la somme inconnue entre deux quantités qui ont la même limite. Cherchons par exemple à évaluer
dx
X log a- ' a
Soit toujours 6 = a -h nh, Nous partirons de l'identité
log log {x -+- h) - log log X = log 1^1 -H ^——J^\ . (8)
que nous allons combiner avec les inégalités suivantes, dont les deux premières résultent immédiatement des développements en séries des logarithmes,
log(i-f-^)<;sr<logj-^. (9)
et dont les deux suivantes se déduisent de celles que nous venons d'écrire en remplaçant, dans la première i -\- z par /,
et dans la seconde r^i-^ par /
^ - 1 > log ^ > ^^ - (10)
On aura ainsi, en appliquant la première inégalité (9)
„,L'°i(i:ri)l<'!i(ili)
® L leg ^ J log ^
" 07 log X *
et, en appliquant la deuxième inégalité (10)
>Oe 1^* -i iog j,. J ^ i^g (^jç ^k) ^ {x -^h) log {x -4- h)
Oq a donc
Remplaçons maintenant dans cette double inégalité a: suc^ cessivement par a, a + A, a -h 2^..., a 4- (n — i)A et ajoutons ces inégalités membre à membre. Nous trouverons
en posant
a log a (an- A) log (a -+- h) '' b log b ' La double inégalité précédente peut s'écrire
loglogè — Iogloga-f-^jj^<S<logIog6-loglogfl+^-j^^.
Lorsque h tend vers zéro, S tend vers I et l'on obtient le résultat cherché :
^^ = log log b - log log a.
73. A cet ordre d'idées se rattache une puissante règle de convergence des séries due à Cauchy. Soit ^[x) une fonction qui soit constamment positive et décroissante, et qui tende vers zéro^ lorsque x croit à partir d un certain nombre entier a jusqu'à TinQni : la série
sera convergente ou divergente suivant que l'intégrale
sera finie et déterminée ou non.
En effet, on a, par hypothèse, pourx compris entre n et n -i- 1
?(n)>?(^)>?("-f-i) d'où
l)dx,
ou
On aura de même, en remplaçant successivement n par H -t- 1, n + 2 n -i-p — i,
ï(" + p-t)> çM<'i > •(» + p).
Faisons la somme de ces diverses inégalités et posons, pour abréger
S.= ?(l) + î(2) + - + TWi il vient
/n+P ,Mrfa.>S.+ ,-S. (13)
Laissons n fixe et faisons croitre p à l'inGni ; supposons de
onvergente. Alors S, +, a une limite S et la I (13) nous montre que, le premier membre ÎDÏe, il en est forcément de m<^me de l'ioté-
cond lieu l'intégrale déterminée; la deuxième
ç(j-)rf:C.
e S„^p a une limite lorsque;) croit à l'inlini. r exemple la série\' —^ étudiée tome 1 n" 1 2 1.
a une limite l< lie la sériel -^
pondante/ -'^ = r,-:!^^!' ""]' ; < 1. On relit
eV j-4» (">
le /"-*;-
est finie i I < 1, On retrouve ainsi les conditions du
'"^'^2 J^lT^7^ C*^'"^ ' °' '-'^) ^^' divergente raie / — r--— est infinie : pour le voir, il
, L'inléffrale devient
1 lies chnnt;cmenls de variables eniciil des inléf^rulcs dénnies
)rocédé d'intégration consiste à obtenir par lations une égalité oii ne figure que l'inté- Kn voici des- exemples.
DES INTÉGRALES DEFINIES 97
Soit à évaluer l'intégrale déjà obtenue au n^ 68
it
1=1 log si il xdx.
Nous ferons d'abord le changement de variables
il en résulte
I = — I log cos ydij = I log cos ydy,
On en déduit
•ït TC
log sin â7c?a; -f- I log cos iro?a? = I log si n
a? cos xdx
TZ
n 8in2a? 1 P /*^
: 1 log — s — c^v = ;j I log sin 2x.2dj; — / lo
ou encore, en posant dans le second membre 2œ = z.
g2dx
Mais on a évidemment
2l = 2 / log sin 2dz — | log 2.
/log sin zdjs = 2 / log sin zdz = 2l. (il)
Calccl ih?irit£3Imal 7
«s CB A PITRE 1[
On a donc eaûn l'égalité cherchée
2Î = 1 - ^ log 2 d'où i'oQ lire
2l = I|log2.
(ir.)
qui est évideate si l'on remplace œ par r ■ — y dans le premier membre, se réduit, après le développement de (it — xy,k
Le premier membre vient d'être calculé (Formules 14 et 15); on a donc
Du résultat précédent s'en déduit facilement un nouveau. L'identité,
/x* log sin X dx =i I (r. — x)' log siu œ dx,
idente si l'on remplace œ f bre, se réduit, après le déveh
7t I \o^ s'in X dx := 2 I a
■membre vient d'être cale
/ ;f log sin ■>: dx =^ — -g- log 2. 75. Considérons encore l'égalité démontrée au a" 69.
et, dans cette égalité, Taisons, x = ij i/â, a. étant positit, nous aurons
/e~3f"-di/ = —p)/i.
DES INTEGRALES DÉFINIES 99
76. Nous avons admis dans les numéros précédents que le changement de variables était légitime, comme aux n^" 29 et suivants. Il faut cependant y regarder d'un peu plus près. Soit
^ = fiy)
rëgalilé qui définit le changement de variables : on en déduit
dx = f\y) dy et par suite
I b\.v)dx=z I F
[ny)]fydy.
11 faut que f,l reste finie et bien déterminée dans le champ de l'intégration. De plus puisque, par définition, x varie toujours dans le môme sens, il doit en être de même pour y. Considérons par exemple Tintégrale
j siïï"';)C dx
et posons
X == arc siQ ij
d'où
dX=.±-y^^.
Pour y = 1, la dérivée x'y de x devient infinie ; il faut alors diviser Tintervalle en deux et poiicr
r^ ri r""
I sin'"x 0^0? — I H- /
, y croit de 0 à 1 — t,, et il
Oq peut donc poser.
dy.
ibre compris entre g et 1, le produit
tend vers zéro lorsque y lend vers un ;
donc une limite déterminée (n° 17} et l'on peut écrire
J \'i ~ ,/' -., x'y est nc'gative, y décroit de 1 à 0,
r montrer comment il Taudra oj)érer mposera le champ de l'intégration en (lacune desquelles il ne se présente lites.
entité
DES INTÉGRALES DEFINIES 101
faisons
nous obtenons
Des iiilégralcs définies qui se déduisent de IMnIégrale indéfinie
17. La méthode la plus simple est celle qui consiste simplement à appliquer la formule (3) du chapitre précédent. Ainsi Ton a
on en déduit immédiatement
^dx = e' — i,
comme on l'a trouvé au numéro 68.
De même la formule
dx , b a
résulte immédiatement de celle-ci :
u'on a à calculer une intégrale définie, il arrive iules de récurrence se simplifient beaucoup el pénible sur l'inlégrale indéfinie devient facile si . les limites.
)iemple à calculer
lisant les limites dans la formule (73) du chapitre^ Ile devient
A„=V^A.„, (16) ;eant m successivement en m — 2, m — i
is ces égalités membre à membre, il vient, aprc> cation évidente.
;as sont i distinguer suivant la parité de m. Si Ht a rencontrera, pour p =1", l'intégrale A, dont it ^; si m est impair, on aboutira à A, qui est
t égale à un ; d'où les deux formules suivantes,
; '2k, on fera^ ^ A, ce qui donne
"(2t— l);2t— 3)... 3.1 r ■ma — 2)... a 2'
DES INTÉGRALES DEFINIES i03
au contraire, pour m = 2k -\- i eip = k] on obtient
2kX2k -2). ,.2 (^g^
Formule de Walll»
