OO

,r 2 244 TT /__2ZL-V(2;n- 1) (20)

Celte formule, connue sous le nom de formule de Wallis, donne le nombre w sous forme de produit infini. Wallis l'avait découverte avant Tinvention du calcul intégral.

Deuxième niélhode pour le calcul de / c— **û^r.

80. C'est encore par une formule de réductions successives que nous obtiendrons cette célèbre intégrale sur laquelle nous avons déjà appelé l'attention du lecteur (n° 69).

Considérons l'intégrale définie.

. / dx

L^égalité (19) du chapitre I donne immédiatement la formule de récurrence

qui est applicable pour toutes les valeurs de m supérieures à l'unité. Or

. / dx * r 1 ^1 * ^

^. = / W^^^ = a ["c lang -J^ = - g:

on a donCy en donnant à m dans la formule de récurrence les valeurs 2, 3... m :

. i .^ 5 2m — 3 1 iz A,„ — 2- 4- g- 2m — 2 a*'»-* 2*

Posons maintenant

z , dz

s/m \in

DES INTÉGRALES DEFINIES iOo

la formule précédente devient

* /-- M dz 1.3. 5... (2m — 3) j/m tz

AynSin— I <^, £^y« " ^5.4.6... (2m — 2) a«"*^ 2'

Faisons a = 1 et supposons que m croisse à Tinfîni, cette

égalité devient

/ .i, Tt ,. 1.3.5... 2m — 3 /—

ou en écrivant m + 1 au lieu de m

.8, ^1' 1.3. 5... 2m — 1 /s g . I ni

ou enfin, en tenant compte de la formule de Wallis et remettant a: à la place de z :

ô-^Vj? = I v/^. (21)

Transcendance du nombre e et du nombre tz

81. C*est à l'aide des intégrales défmies que M. Ilermile a réussi à démontrer que le nombre e ne peut pas être algébrique; en d'autres termes on ne peut pas avoir une équalion de la forme

V{e) = c^^ c,e 4- c,e» +...-+- CmC"^ = 0 (22)

dans laquelle c^^ sont les coeflicients entiers.

FaisoQS une remarque préliminaire : rinlégratioBpaF parties donne înimédiatement, en répétant \ fois l'opération,

Cela posé, introduisons avec M. flilbert, qui a perfectionn la méthode d'Hermite, le polynôme P déûni par l'égalité

p étant un entier arbitraire et soit

Nous allons choisir p de manière que l'équation { plutôt l'équation

soit impossible. Pour cela nous l'écrirons

^c,e^ I Pe-'dx-h'^e^ 1

Pe-^dx = 0 (24)

et nous montrerons que, pour des valeurs suffisamment grandes de p, le premier terme de cette équation est une fraction inférieure à l'unité, taudis que le second est un entier non nul. Ces deux termes ne pourront donc se détruire. Considérons la première somme ; son module est ïnlérieur

à la somme des modules de ses termes ; un terme a pour module

tJ es

e-' I P I dx.

Les fadeurs qui composent le numérateur de P ont tous un module inférieur k m^\e-' est inférieur àTunité dans le champ de l'intégration. On a donc

Faisons la somme des inégalités déduites de la précédente en y remplaçant k par 1, 2, 3... m^ inégalités qui seront vérifiées a fortiori si Ton écrit e"^ au lieu de e* et m au lieu de A*; nous obtiendrons enfin l'inégalité

Nous poserons encore

de manière à donner au second membre la forme simple

ZUVr

Le second facteur seul dépend de p et Ton sait (L 246) qu'il tend vers zéro pourp infini : donc, quels que soient b et a, on est assuré de pouvoir rendre cette expression fractionnaire.

Considérons maintenant le second terme de Téquation (24).

uméraleur de P ordonné suivant les puissances ascende .T s'écrira,

(— ))■"'■(»» \yxr - ' ■+■ A,A-J' 4-...

CGcienU A^ étant entiers. Multipliant chaque terme par visant par (p — 1) ! et intégrant, nous trouvons pour de CoJ, à cause de ia remarque préliminaire (form. 23^,

c„J = (— \Y'r{m!)y -+- muU. Aep.

plaçons maintenant dans le terme général de la } somme x par x -\- k

(j + A |)p-'(a; + ky... xy...{x -^k — my

ip - iri

pérant comme précédemment ou voit que cette intésra un entier divisible par/> ; il en sera donc de même

Pe~'dx. La seconde somme de l'équation (24) est

s la forme ( — ^y•'^Co{m ly -+■ rault. de p, et il est évident >eut choisir p de manière que c,(m.')'' ne soit pas diviar p, c'est-à-dire de manière que la somme soit un ion nul. Le théorème est donc démontré.

Supposons maintenant que t. soit un nombre algéet que a, = iit satisfasse à une équation de degré n, i ents entiers, dont nous désignerons les autres racines . a„. Comme 1 -i- e*i = 0» le produit

doQt la valeur est

(1 -h eP»-h... -h^P")

seraaussinul.il résulte de la théorie des fonctions symétriques que les quantités Pi» P^ *.. Pn» dont quelques unes peuvent être nulles, satisfont aussi à une équation algébrique à coefficients entiers. Cette équation, débarrassée des racines nulles,

s'écrira

riz) = hz^ H- h.z"^-^ -f- ... -f- b^ =0, avec bh^ ^ 0.

Le produit P s'écrira, en groupant les exponentielles à exposants nuls et mettant en évidence les racines de l'équation précédente,

^ l e?i 4- Q^'i | ,.,j g?ji avec a entier Multiplions P par l'intégrale

^[(j{z)Y "^ ^er-dz, (p entier > 0),

où Ton a g(z) ^ b^fi^)- On démontrera d'une manière ana-

logue à celle du n^ précédent que le produit P / ne peut

être nul. Il y a donc contradiction : le nombre it est titanscendani.

Ce théorème, démontré pour la première fois par M. Lindemann, établit l'impossibilité de la quadrature du cercle.

DES INTEGRALES DKFINIES 111

entre a et 6, et poar toates les valeurs de / comprises entre « et a + A« une dérivée par rapport à t bien déterminée et continue, on pourra poser pour des valeurs de Aa suffisamment petites

R ayant un module inférieur à tout nombre e fixé d'avance. Il en résulte

il = / f.{^c,^)da^ H- / Kdx

La dernière intégrale a un module inférieur à (6 — a)e, et par suite tend vers zéro avec Aa. On a donc à la limite

I^ût / f{oo,f£)dœ= j /•«(.r.a)

dx (26)

Cette importante formule est connue sous le nom de formule de la dérivation sous le signe j ; elle est due à Leibnitz.

Dans le cas où une (ou les deux) limite de Tintégrale devient infinie, la démonstration précédente ne subsiste plus ; car le terme (6 — a)£ se compose d'un facteur qui devient infini, Tautre étant infiniment petit.

Remarquons alors que, p étant quelconque, on a Tidentité

limite 1 /•J(a?,a

limite / /"a(^,a -H 6Aac/.t') *' a

f{x,7)dx -f- lim / /'oK^.a 4- 0Aa)rfa7. A« = 0/

La première intégrale du deuxième membre a pour limite, par délînilioD, lorsque p devient infini,

n^,'}dx;

pour qu'il en soit de mOme du premier membre, il faut que l'oa ait, pour jf =« ,

lim / /■,(x,a-t-8iiH.v=Û (27)

ce sera une verilicatioa à faire dans cbaquc cas. Sous cette réserve, la formule (2G) pourra s'appliquer même si l'une des limites ou si les deux limites deviennent iatiaies.

84. La formule (26) peut évidemment s'{?crire en multipliant les deux membres par dx et en intégrant entre les limites a,,

et a .

f{x.a]dx- j f{x,^,)dx^ I '^^ j ''=^(^'"^'^ OU encore

el enOn

j '1:0 j «.,,.)i,= / d, j /■,(^,,)i,., ce qui s'énonce ainsi : pour intégrer par rapport à un para-

mètre arbitraire une intégrale définie qui contient ce paramètre dans le coefficient différentiel ^ on peut commencer par

faire l'intégration sous le signe j par 7'apport à ce paramètre.

En d'autres termes, on peut intervertir C ordre des intégrations. Ce théorème exige que la quantité à intégrer demeure finie et bien déterminée pour toutes les valeurs de a; et de a comprises dans les limites des intégrations. Si donc les deux membres de la dernière formule, calculés séparément, se trouvent inégaux, on peut affirmer que la fonction à intégrer est devenue infinie ou indéterminée dans le champ de Tintégration.

85. Considérons, par exemple, l'intégrale déterminée au n<^75.

-«^Vx = a-|^2^- (28)

En dérivant les deux membres par rapport à a, on trouve

X Q aoj = ^0, i — ^29)

Prenons de nouveau les dérivées des deux membres, par rapport à «, et répétons l'opération m — 1 fois ; nous oble^ nous l'égalité

lOO

e ax — ,^-y,. — 2 — a 2^^ (30)

80. Pour justifier l'emploi de la différentiation sur le signe j , il faut vérifier que l'équation (27) a bien lieu. II suffit de remarquer que Ton a,

e-(a+0Aa>i?2 ^ 2

Calcul iifTirdTisuiAL

irttière intégrale a pour valeur -. Elle tend donc vers 3 qui justifie la formule (29). Mdme raisonnement pour iule (30).

Nous supposerons maintenant que les limites a et 6

ictions du paramètre a. L'intégrale / /'(jr,oi)<ir est alor^^

L qu'à lui a

^es, ce qui

leuxième n 5) et l'on 11

Dn pourrait encore elîectuerle changement de variables

iiène les limites de l'intégrale à Otre zéro et un, c'est-àjépendanles de «.

iction composée et il n'y a qu'à lui appliquer la règle de ion des fonctions composées, ce qui donne

rfl __ di db d\ da i n ,

rfi '~ db (û '^~ da(li~^ f di.' l^-'J*''--

leux premiers tenues du deuxième membre se calculeot la règle donnée (n"* 2 et 6) et l'on trouve ainsi

D£S INxéORALVS DEFIMES i|5

Intégralion par les séries

89. Une méthode féconde consiste à développer en série le coefficient différentiel ou un des facteurs de ce coefficient. Soit

fip) = fo(P^) -+- / ,(^) + . . . 4- /"«(a?) 4- R„,

R„ ayant pour limite 0 pour 7i == oo . On aura

et Ton pourra faire croître n à l'infini dans cette dernière &alilé si

lira / R„r/j; = 0.

90. Considérons, par exemple, Tinlégrale suivante étudiée par Fourier dans la théorie de la chaleur :

1=1 e-^'^ ces 2007 d.c.

Comme

2 Ml

OD, en vertu de (30),

Le tel me général qui figure dans le crochet peut s'écrire

OD aura don: enûa

e~' coi 2bx <!a! = ^ e—'' v*!!-

Mais, pour que la métliodË précédente soit applicable, il faudra vériQer que

a bien pour limite zéro. Or

{2S,rf-j;

en désignant par f'"' + '(0,t) un sinus ou un cosinus. On a donc

, (2i.l'"<-ij»-(l +x't ,

l«.l<ll*9^

DBS INTÉGRALES DEFINIES 117

Le module de / B^dx est inférieur à

qui peut s'écrire

ou encore

s/^[ 2b b^ 2m -f- 2 6^'"^-» 1 T L2m -+- i m ! "^ 26 ' (m H- 1) îj'

et enfin

cette quantité tend évidemment vers zéro. L'égalité (31) est donc légitime.