On trouvera de même la valeur de Tinlégrale

qui est finie parce que, pour ar = 1 , log ^ et 1 — x sont des

infiniment petits de même ordre et que le produit ^^ log x tend vers zéro avec x, quel que soit « positif.

CHAPITRS tl

: est inférieur à Tuoité, on pourra écrire

lière fraction tendant vers zéro pour ar = « . On aara

ant

quantité

es, on trouve

'■=[Sri'»8-]]-ir^/ »

rocbet est nul, et il reste

' étudier B», nous décomposerons le champ de l'intégradeux parties

lions d'abord la quantité

légrant par parties, on trouve

afdx.

DES INTEGRALES DÉFINIES

il9

p étant un nombre fixe aussi voisin de Tunité que Ton voudra, mais infériear à un. La première intégrale

log X dx est inférieure à

log X dxj

î'est-à-dire k p^'^' I ^^ dx ;

elle tend donc vers zéro

lorsque n croit à l'infini. Dans le deuxième terme, nous écrirons

log 07= log [i - (1 - X)] = -^i^x)^ ^^ - ^^' ^ ...]

= — (1 — O?) fi -^ -

Comme p est aussi voisin de Tunité que Ton veut et que x est compris entre /? et 1, nous supposerons p choisi de manière que les termes qui suivent le premier dans le crochet précédent aient une somme inférieure à un nombre donné s. Un aura alors

|loga?|<(l-a:)(i-+-e)

dx

< (i 4- e) 1 0?» + ^dx P

cette dernière intégrale, dont la valeur est f^2 * évidemment aussi pour limite zéro. On peut donc développer I en série et écrire

ce dernier crochet a pour valeur (*)

0%. C'est encore de la mômeman tante connue soua le nom d'intégro première espèce (voir n" 50)

K= f , jî^-.^ =

Comme k^ est inférieur à l'unit»^,

et par suite

K=."+ift'

/sin'^

Or cette dernière întég:rale a été c.

enfin

Cette dernière série ne converge petit ; si A^ est voisin de l'unité, il vi

(') Voir la démonstration au n* 140.

DES INTÉGRALES DEFINIES i21

et partir du développement de

ce qui conduit à des calculs analogues aux précédents, et sur lesquels il n'est pas utile d'insister.

93. L'intégrale peut se présenter comme série illimitée, d'une tout autre manière. Ainsi l'intégrale / /(a?)rfj? pourra

être considérée comuie la somme des intégrales

^ a ^ a^ ^ an

On

dans lesquelles les nombres a, a,, aj...fl„,.. sont rangés par ordre de grandeur croissante et n croit à Finfini.

04* Considérons par exemple l'intégrale

fsin

1= 1 ^l^dx.

Nous récrirons

Si Ton pose

on a

sin a? , /

sm

(2n — l)Tt H- y

ît aÏDsi que les termes de la série sont alteraalivclosîtifs et négatifs. De plus chacun est inférieur au ent et ces termes tendent vers zéro ; la série est donc gente. On peut alors écrire

-.It

n sait (voir par exemple n" lil) que

>ngf =2r2

elle égaillé, remplaçons x par ^: noua obtenons la î

)ii tire

OU enfin

I sin a? ic

es. On établit de la môme manière l'égalité

cos xdx 1 / (e« — e—^) cos y ,

â* -h j?^ ïâ / ê'» ~"2 cos y -h e*-^ ^'

C'est encore un développement en série qui permettra d'intégrer le deuxième membre : posons en effet

La fraction à intégrer peut s'écrire, en n'écrivant pas provisoirement le facteur cos t/j

i^ — 1 , 21 cos y — 2

f* — 2/ ces y -h 1 ~" "^ <* — 2f cos y -h 1

= 1-1- e'y-« [l -h e'i/-« -\- eW-'») -f-...]

= 1 -f- 2e-«cos y h- 2e— *« cos 2i/ 4- 2e-'« cos 3y -h...

On a donc enfin, en remarquant que dans l'intégration le second terme seul donne un résultat différent de zéro^

cos xdx ir

Intégrales eu

06. L'intégration se présente plus compliquée. On rencontre ei forme

l'intégration devantêtre effectuée

donnée du point (x^y„) au point (x

Voici exactement ce qu'il faut (

les équations qui définissent les c courbe plane (C) <Ionn<5e en fond t ^ t^, le point courant coïncideri coordonnées

et, pour t = t^, avec le point M^ t

Si dans les fonctions P{x,y), Q leurs valeurs en fonction de /, en

It^t IV.*'

DES INTÉGRALES DEFINIES i2:»

les fonctions P(^,y), Q(a:,y) deviendront des fonctions de /, Pi(0> Qi(0 ^^ ï'^ï^ ^"''®» V^^ définilion :

= / [^AOfV)'^QMo'{t)]dt. (36)

OT. Celte nouvelle espèce d'intégrales donne naissance à un problème très important. Si deux courbes ont les mêmes extrémités Ato et J/j, à quelles conditions les intégrales effectuées le long de ces courbes auront^elles la même valeur ?

Soient

les équations qui définissent une deuxième courbe (C), avec les conditions initiales et finales

Nous allons envisager une courbe (C) qui se déforme de manière à passer de la forme (C) à la forme {G) ; -pour cela nous poserons

La courbe (C') ainsi définie se confond avec (C) pour a = 0 et avec C pour a == l. Nous exprimerons que l'intégrale prise le long de cette dernière courbe est indépendante du paramètre variable a pour toutes les valeurs de a comprises entre 0 et 1.

Les limites étant indépendantes de a, nous diiïérentierons

sous le signe i ; il faut remarquer que maintenant, dans (3i)

X eiy sont remplacées par les valeurs tiréesdes équations (38)

GHAnTRÏI 11

doit remplacer par exemple dx par^"; dt, dy par I aura ainsi

dxjdi '^^ dxài

cliODs de celte l'i'alité la a

•s-«a;:-rK('';;')H-^(og)].-,

dentiquement vériQée parce qu'aux limite» ^ s* '^^

■- cette dérivée soit nulle, quelle que soit a, il suflil que

dition est aussi nécessaire, comme nous le démonlre- 'opos du calcul des variations.

est indispensable de remarquer que ce raisonnement pressément que les deux fonctions F et Q soient i et bien délorniinées ainsi que leurs dôrivêcs du ordre pour tous les points compris entre les deux c) et ((.'). En eiîet lorsque le paramètre « variera de

DES INTÉGRALES BEFINIES

zéro à Tunilé, la courbe (38) balaiera tout l'espace compris entre (C) et (C).

Nous désignerons désormais par la notation

{Pdx -+- Qdy)

MoMj

rintcgrale qui vient d'être définie et qui ne dépend que des limites de l'intégrale. Lorsque nous voudrons distinguer deux chemins ayant les mêmes extrémités» nous les désignerons par trois lettres ; ainsi, en négligeant même, pour plus de rapidité^ d'écrire la différentielle, le théorème que nous venons de démontrer s'énonce