Le théorème précédent peut encore s'énoncer comme il

M fondions P «ï Q ne présentent aucune singularité ur d'un contour fermé, l'intégrale

(Pdx -+- Qdy)

ngdece contour est nulle, pourvu que Von ait < oints de l'aire considérée

; l'intégrale prise le long d'un contour fermé est dif- ! zéro, on peut aflirmer qu'une au moins des fonc- Li U présente une singularité à l'intérieur du conlour.

.es intégrales curvilignes jouissent évidemment de la des intégrales ordinaires qui peutôtre ainsi formulée

ÙH:

L'intégrale curviligne peut être considérée comme le sa limite supérieure.

;etle fonction, nous poserons

(Prfj; -+- Qdy)

DES INTÉGRALES DEFIiNiES 120

et u dépendra des tieux variables a: et y. Donnonsàarraccroissement Aar, y restant constant ; u deviendra

U -{- lu = I * [Pdx -h Qdy)

{Pdx -^ Qdy) 4- / {Pdx -h Qdy).

On aura par suite

.-^ + Aj?,y /-«a? 4- IXyi/

\u = / {?dx 4- Qdy) = / Prfo?

«^ ar/i

parce que, dans cette dernière intégration, y reste constant. U en résulte inimédiatement

et Ton démontrerait de même que

On a donc

du = Vd.c -h Qdy,

Ainsi, si deux fondions P el Q sont telles que

i7 exw/e i/we fonction u e//»^ t/ewj: variables x e/ y, définie par la notation