C.VLCUL IHnXITKSIMAL

car les deux membres sont égaux à ^ , - . Nous obtenons

ainsi q — coûditions auxquelles doiveut nécessairement

être assujettis les coeflicieuls X, pour que l'expression e puisse être une dtfléreatielle exacte d'une certaine fonction ?■

Nous allons montrer réciproquement que, si les conditions (il) sont remplies, il est toujours possible de déterminer une fonction ?> dont t soit la dilTérentielle et qui prenne une valeur donnée Ug pour des valeurs arbitraires a^, a^... a„ attribuées aux variables X,, Xi... Xn. Posons

rinli'gralion ne se rapportant qu'à la vanubte :r,, nous aurons

l'I, pour i dillérent de l'unité,

en désignant par X^' la valeur de X, pour x^. Il en résulte du, ^ X,rfx, -H {\. — X^O^'-'-j 4- — -+- (X„ — K')<i'-«- Ketrancboas cette égalité de l'égalité (40) : il reste

s — rf(|-, =: ^Vdx^ + ... -t- Xïirfj:„

le second membre étant composé comme e, mais avec une variable de moins. Dans ce second membre, les conditions d'int('grabililé sont évidemment satisfaites puisqu'elles figurent parmi les équations (41) où un a seulement remplacé j^i para,.

DES INTÉGRALES DEFINIES 133

On réduira de même à une nouvelle expression simplifiée en posant

ce qui donnera, par une notation facile à comprendre,

e — dUi — du^ = Xl^>''idx^ -h ... -H XS*»«2û?j;„,

et ainsi de suite. Finalement on aura

E = du^ 4- dUj^ H- ... -h dun,

et par conséquent e sera la différentielle d'une fonction

çp = î/, H- W^ -4- ... H- Un -h C'°

on

j^^i rv"^! /'V^s

Soit par exemple

rfo = (y -h z)dx -h (sr -h a;)c?y -+- (^ -h y)c^^

On a

Des fonctions niuiurormes

106. Les considérations développées dans les n°^ 100 à 103 permettent de préciser le sens du mot « fonction ». Nous appellerons fonctions uniformes ou monodrômes celles qui reprennent toujours la même valeur au même point (c'està-dire pour le même système de valeurs des coordonnées x

i34 CHAPITRE II

et y), quel que soit le chemin suivi pour arriver à ce point. Les autres fonctions sont dites multiformes ^ polydrômes^ ou simplement mal déterminées. Ces mots s'entendent dans tout le plan ou dans une région limitée, suivant les cas. Les fonctions

x^ — y», - , e'siïi y,

sont des fonctions uniformes.

Au contraire

\^x^ -h y*, arctang -

sont des fonctions multiformes. En effet donnons à x la valeur 3 et à y la valeur 4 ; \fx'^ -h y" peut prendre les deux valeurs ±3,

et arctang £ peut recevoir une inQnité de valeurs renfermées dans la formule

kr. -h arc tang q ,

le dernier arc tang étant celui compris entre zéro et ^ .

107. Si l'on différentie une fonction multiforme, la valeur de l'intégrale de cette différentielle dépendra du chemin suivi. En particulier l'intégrale le long d'un contour fermé ne sera pas toujours nulle.

Considérons, par exemple, la différentielle

.,.?/ xdu — ydx cfM = cf.arctanff ^ = — '% ^ ^—

et cherchons la valeur de l'intégrale (C/n^ 104)

— ydx

prise le long d'un cercle de rayon R qui a son centre à l'ori-

IPI^*' . î. ^- ■'-

DES INTÉGRALES DEFINIES 13o

gine. La géométrie donne immédiatement ]a réponse ; en effet on a sur le cercle

et xdy — ydx représente, au signe près, le double de Taire du triangle qui a pour sommets Torigine et deux points M et M' infiniment voisins l'un de Taulre, pris sur la circontérence. La somme des aires de ces triangles inQniment petits est évidemment -ïtR'^ et Ton a

===hl.

On prendra le signe -i-, si, en tournant sur la circonférence dans le sens Irigonométrique on rencontre d'abord le point ^^^f y), puis le point W{x h- dcc, y -h dy), le signe — dans le cas contraire.

Le même résultat peut d'ailleurs ôtre retrouvé autrement : posons

ir == R ces t y = R sia t.

L'intégrale devient, en tournant dans le sens trigonométrique

et, en tournant en sens contraire,

Cet exemple fait voir qu'il faut toujours, dans le calcul des intégrales le long d'un contour fermé, préciser avec soin le sens dans lequel on décrit ce contour,

108* Nous allons entrer, à ce sujet^ dans quelques détails et envisager des contours plus compliqués.

lit une courbe (C) fernKÏe, cl renfermant plusieurs aulros bos fermées (■;), {■(')• ("r") ■ supposons que ces contours :nt aucun point commun.

exi«le une région, couverte do liachures dans la figure, prise entre les courbes (7), (y), (y') et (C). .Nous dirons que inlour de la région esl parcouru dans un sens donné si un ile, parcourant les quatre courbes, laisse toujours la an du roi>rae côlé, par exemple à sa gauche. Observons, tassant, qu'un autre chemin fermé quelconque trac<^ dans igion pourra, par des déformations successives, être réduil, ton, à un point, suivant qu'il enfermera, ou non, quelques 1 des courbes (f), (yO, (Y)-

n pourrait imaj^iner des contours plus compliqués, (ois le suivant;

FiG. .1

; nous n'aurons pas à les envisager.

00. Cela posé, supposons que les fonctions P el Q restent ormes dans ta région ombrée qui vient d'être définie, 'intégrale

(Prf,r ^- Q,l„),

DES INTEGRALES DEFINIES 137

prise le long d'une courbe fermée quelconque réductible à un point par des déformations successives, aura toujours pour valeur zéro.

Nous allons en déduire la relation

(c) ^(^) ^^cn *^(t").

los contours étant cette fois-ci tous parcourus dans le sens trigonomëtrique, ou tous en sens contraire.

Envisageons à cet effet le chemin RABGDKFGHIJKLMNO PQU ; ce chemin pourrait être réduit à zéro par des déformations successives, et sans sortir de la région. L'intégrale

/ (Pdx

-+- Qdij).

prise le long de ce chemin, est donc nulle ; on a donc, en la décomposant

«^ AB *^ IJCO *^DE *-^ KFG *^ OH *^^ IIIJ «-JK

KLM *- MN *^ NOP *^ PQ «^ QRA

S on peut supposer les deux contours AB et DK aussi s l'un de l'autre que l'on voudra et même coatoadus ; de HG et JK, MX el QP. Les fonctions P et Q reprenant par hèse les mêmes valeurs aux mêmes points, on aura

,/>-,/: Ir-I- i-i /-/■ f-f' f'-f'

signant par / , / ... / les intégrales parcourues

e sens trigonométrique. EnQn

te que l'i'galité (42) devient

nous voulions démontrer.

), Retour sur les fondions multiformes. Il est toujours le, en restreignant les faciliti?s que le point ^\{x,y) de rbe a à se di^placer, de transformer une fonction multi-

en tonctioD uniforme ; nous entendons par là que la m, soumise maintenant aux. restrictions auxquelles nous fait allusion, ne peut plus prendre en chaque point de la

considérée qu'une seule valeur.

exemple fera bien comprendre la manière d'opérer, nous ia fonction arctg ^l, et montrons d'abord qu'il est

DES INTÉGRALKS DEFINIES 139

toujours possible de passer d'une valeur de la fonction à une valeur différente par une variation continue, tout en restant dans un domaine déterminé, par exemple à Tintérieur d'une circonférence de centre 0 et de rayon 2. Nous choisirons, comme chemin décrit par le point M[œ, y), la circonférence de centre 0 et de rayon 1, et pour valeur initiale de la fonction au point A, dont les coordonnées sont ^==1, y = 0^ la valeur

zéro. Posons

X == ces t y = sîn t ;

la fonction arctang ^ est simplement égale à /, et, pour que

le point M décrive la circonférence donnée, il suffit de faire varier t de zéro à 2Tt. Lorsque M sera revenu en A, arctang

^ aura la valeur 2-^.

Menons maintenant un rayon OB quelconque du cercle de rayon 2, et interdisons au point M de franchir ce rayon. Quel que soit le chemin parcouru dans le domaine considéré, avec la nouvelle restriction que nous venons d'apporter aux déplacements, soit par exemple le chemin ANDN'CA, lorsque le point M reviendra à son point de départ, la fonction reprendra sa

valeur initiale ; arctg ^ est dans les nouvelles conditions une

fonction uniforme.

FiG.6 11 est à remarquer qu'aux deux points N et N' qu'on peut supposer aussi voisins qu'on le voudra de OB, mais de part et

CIIAPITRB II

tre dfl OB, la fonction arctg *i prend deux valeurs cjui

■ront enlre elles de près de 2it. Si donc l'on voulait franie rayon OB pour passer de N à N', il faudrait diminuer ;quement la valeur en N de 2it pour avoir la valeur en N'. ■ayon Oit s'appelle une coupure.

e qui précède suffit pour faire comprendre comment i} ra opérer dans tous les cas. Appelons points de branche- / les points qui, situés entre deux chemins ayant les mêmes émitcs, font acqui-rir finalement à la fonction qui parcourt deux chemins, avec la même valeur initiale, des valeurs rentes. On mènera des coupures de chaque point de brannent à la limite du domaine, limite qui peut dans certains être roculée àl'inlini; pour tout chemin intérieur au aine et qui ne franchira aucune coupure, la fonction eurera uniforme.

ous trouverons dans le chapitre suivant de nouveaux nples.

CHiPITRE III