IMAGINAIRES
111. Les intégrales de la forme / {l^dx -+- Qdy), lorsqu'elles
existent, définissent ce qu'on peut appeler des fonctions de point. Parmi celles-ci, nous considérerons en particulier les fonctions de variables imaginaires telles que nous los avons définies dans le premier volume (§§ 260 et suivants). Quoique nous paraissions sortir du domaine pratique qui intéresse exclusivement l'ingénieur, le lecteur, qui prendra la peine de lire ce cnapitre, verra que l'emploi des imaginaires présente souvent le plus court moyen de trouver d'importants résultats relatifs au domaine réel. S'il le veut, il pourra d'ailleurs se contenter de constater ces résultats.
Nous désignerons toujours par la lettre z la fonction de point très simple x -H iy. Soit alors
M = P{x,y)-^iQ{x,y),
l'intégrale 1 ^
/{z)dz sera définie de la manière suivante
on se donne une courbe (C)
i42 CHAPITRE m
passant aux points Mq{z^ = j*o 4- ûjo) et M/^^ =. x^ h- ii/,). Si l'on remplace
z par ç(«) -f- e6(/) (3?^ par [?'(0 -H t•V(0]^^ f{z)dz devient
[F(0 -h iF,(0] [o'(0 4- if(0] dt,
ce qui peut s'écrire, plus simplement,
[M(i)-^iS(t)]dt; la quantité
\\{t)di 4- i I N(t)di
sera dite la valeur de / f{z)dz. Il est clair que cetle inté-
grale jouit des propriétés des intégrales réelles auxquelles elle se ramène par définition.
En particulier si z^ est un point de la courbe (C) compris entre z^ et ^i, on aura
On pourra aussi poser
r(z) = P(x,2/) 4- iQC^.y) ; et Ton aura, le long de la même courbe (C),
f{z)dz = (P 4- îQ) {dx 4- idy)
= / [(? 4- iQ)dx 4- {iP - Q)dy] , .
INTEGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES 1 i3
celte dernière intégrale étant parfaitement définie lorsqu'on remplace x eiy par leurs valeurs en fonction de t.
1 12. Si maintenant on cherche à quelles conditions l'intégrale qui vient d*être définie ne dépend que des limites, on sera conduit à faire un raisonnement identique à celui du n^ 97, et par suite la condition (39) s'appliquera, c'est-à-dire qu'on devra avoir
dy fn/ àx àx '
ou encore, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires
ce sont les conditions (10) du n** 261 (Tome i®'^). Ainsi, dès que P H- iQ représente une fonction de x -\- iy^ il existe une autre fonction de point que l'on peut représenter par la notation
= / Mdz.
et qui est égale a Tinlégiale curviligne
(P -+- iQ) [dx -h idy).
Comme on a (n^ 102)
du = (P -f- i(i)dx H- (P + iQ)idij = (P -h iQ) {dx -h idy), ou
du = f{zdz.
st la di'rivée de «, la dérivée élant prise comme si = était
3, Celte intégrale jouit évidemment des propriétés des aies ordinaires, rappelées (n°' 3 à 0). On aura :
f(,)dz = =f(t) - ?(«).
est une lonclion primitive de f{s) et si, de a ai, K' n parcouru no présente aucun point critique ; de mémo
sur le parcours de
nts J et c étant sur le parcours A% akd; enûn
tliéorëmes de la moyenne doivent être modlQés. On bien, h. la vérité, pour / et A réels,
s M. Darboux a montré qu^on peut supposer e =: o,, à ion de modiûerle TBullipUcateur des dérivées. Posons
F(0 = AO +■■?(') j =
e étant mme, 0
iiodule d'une somme étant inférieur ù ia somme des luoies termes de la somme, on aura
le second membre est maintenant réel, et on peut lui appliquer le premier théorème de la moyenne {n^ 8, form. 7)
I F(0 \dt = {b^a)\ F(?) I ,
d'oii, en désignant par 6 un nombre positif inférieur à wn,
Or si © et CD désignent les arguments de J et de F(î), on a
J = I J I (cos cp -f- i sin o) F(î) = I F(f) I (cos w 4- i sin a>) ;
on en déduit
COS cp H- i sin © ^ ^ cos w -\- t sin w '
ou
J = 6(6 — a) [cos (<p — w) -4- t sin {o — w)] F(?),
ou enfin
F{t)dt = X(ô — a)F(0, (2)
À étant une quantité complexe dont le module est inférieur à Tunilé et î un nombre réel compris entre a et b. La formule (2) est la généralisation de la formule (7) du premier chapitre ; on généraliserait d'une manière analogue la formule (8) et nous écrirons, sans démonstration,
f{t)F(t)dt = IfC) / F(t)dt (3)
les lettres X et \ conservant la même signification que ci-dessus,
Calcul inFLiiTésiiLiL 10
et la fonction f{t) étant assujettie à être réelle et positive entre a et b.
Considérons enfin l'intégrale
f[z)dz^ I (P^iQ)(dx-^idy);
on a, d'après ce qui précède,
mod J
mod f{z) mod (dœ -h idy) = 6 mod /(Ç) f ds
en appelant ds l'arc AA' de courbe terminé aux point ^ï^ et;?... Enfin, en introduisant le facteur X de M. Darboax, on a
3 = 1 arc AA7(Î) 114. Le théorème du n° 17 subsiste sans modification ;
et il est encore vrai (n^ 18) que l'intégrale / f{z)dz a une
signification, si le produit z''f{z) a une limite pour js = c» et pour n > 1. Voici un théorème analogue qui nous sera d'une grande utilité : « S/, pour z =i oo ou pour z = 0 le produit
zf[z) tend vers zéro, Vintègrale j f(z)dz, prise le long d'un
cercle de rayon infini^ ou dun cercle de rayon infiniment petit, ayant Vorigine pour centre, est nulle. En effet, Ton a, comme précédemment,
yiz
\f{z)\ \dz\.
;r = R (cos <p -4- i sin cp),
INTÂGRATION DES FONCTIONS DE YARIAfiLES IMAGINAIRES 147
d'où
dz = Rt (cos ç 4- » sin <p) d<5>, \dz \:= Rc?<p ;
mais on a
lim zf[z) = 0; donc
l/WK-f^
€ étant un nombre arbitrai re, ou
l/WI<i- En se reportant à la première inégalité, on voit que Ton a
f{z)dz\< I çRdç
<2ire
ce qui démontre le théorème, puisque e peut être pris aussi petit que l'on veut.
Remarque. — En transportant l'origine au point a, on
verrait de même que Tintégrale \ f{z) dz prise le long d*un
cercle InGniment petit décrit autour du point a comme centre est nulle si le produit [z — a) f [z) tend vers zéro pour 5 = a.
