TV

Voici comment se trouvent ces diverses valeurs : on remarque que u peut s'écrire

\ i (h { l dz \ I

« = 2iJ z-^Ti - 2iJ z ^i = 27 '°S (*-'■)- 27 '«g (^ + '■).

Lorsque le point z tourne autour d'un des points critiques -f- I et — i, l'un ou l'autre des logarithmes s'accroit (ou diminue) de 2-1 ; par suite ti a repris» après un tour de z, sa valeur initiale augmentée ou diminuée de tc.

3** Dans l'exemple suivant, la fonction est indéterminée mais n*est susceptible que de deux déterminations, tandis que son intégrale admet encore, pour chaque valeur de z, une infinité de valeurs. Soit

/dz

^rr = arc sm z :

s\ 91 est une valeur de arc sin;:;, les autres sont données par la formule

dans laquelle k représente un nombre entier positif ou négatif. Marquons en effet sur l'axe ox les points A et A' qui ont pour coordonnées 1 et — 1 ; supposons de plus que nous donnions à v''l —z- comme valeur initiale 4- 1 à l'origine.

Fio. 7

Si Ton va en ligne droite de 0 à M, le radical acquerra en

ioO CHAPITRE ni

M une certaine valeur que nous appellerons R. Mais si Toa suil le chemin OCM, la valeur finale en M ne sera plus nécessairement la même, parce qu'entre les deux chemins se trouve le point A qui est critique pour /i — z*. Ce chemin peut être remplacé par le suivant : de 0 jusqu'au voisinage de A en dessous de Ox {z réel et égal à x), une circonférence de rayon r autour de A décrite dans le sens trigonométrique, de A en 0 au-dessus de Ox et enfin de 0 à M en ligne droite. Entre ce nouveau chemin et la ligne OCM, il nj a aucun point

singulier de — ; on peut donc être sur que ces deux

chemins font acquérir à f{z) la même valeur. Or posons

z = œ -h ly, X = i -\- r ces *, y = î' sin f,

d'où

V 1 — z'^ \J — r (ces t -\- i sin i) (2 -f- r cos / -h ir sin /)

= — - ( cos —s X sm — s— ).

Vr v/2 H- V cos ^ H- î> sin i \ -* -• /

Lorsque le point z varie de 0 à A, l'argument i conserve la valeur — ir ; près de A, on peut supposer r assez petit pour que le produit des facteurs affectés de radicaux reste suffisamment voisin de-7=. Le seul facteur qui sera sérieusement

modifié pendant le parcours de la circonférence autour de A, c'est-à-dire lorsque t varie de — ir à -h ir est le facteur

cos -~^ — i sin ^^- • Sa valeur initiale est -t- 1 et sa valeur

finale — 1, c'est-a-dire qu'après avoir tourné autour de A, f{z) a changé de signe et, lorsqu'on revient en 0, sa valeur est — 1, par suite en M, elle sera égale à — R. Un nouveau tour autour de A ou A', changera encore une fois le signe ; on pourra donc, à volonté, suivant que le nombre des tours faits autour de A et de A' sera pair ou impair, arriver finalement en M avec la valeur -4- R ou — R.

Considérons maintenant Tintégrale

dz

et voyons comment elle se modiSera dans les mêmes circonstances. Appelons I la valeur de cette intégrale lorsque Ton va en ligne droite de 0 à M :

posons aussi

Le long du chemin OCM, on aura, en remplaçant ce chemin par le dernier chemin que nous avons considéré.

OCM «-^ OA «-^cirCA «-^ AO *^0

or on a