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l t H — cost -hicost) [ T.~\-t . . T.-\-t\j I = I -— -f — — -^— [ nos — r^ ism—^—jdt;

•-^circ A ^ — ic

lorsque r tend vers zéro, il en est évidemment de même de Tintégrale, à cause de la présence du facteur constant -r^ et Ton a

•^ cire A

ClfAPtTKE 111

En tournant autour du point A, le radical a changé de si^nc l'on a

Enfin Çi)

Donc, en se reportant à la formule (3), on trouve

Si l'on lait un nouveau tour autour de A' avant d'aller de eu M, le signe du radical sera de nouveau change, et m me

X— r~ ^^ f rfj - - 1^0 *^ 0

1 arrivera en M avec la valeur

Finalement on obtiendra en M pour l'intégrale une infinité I valeurs de la forme

A-n 4- ( - iy\

étant un nombre entier positif ou nul. Les valeurs négatives A's'obliendraient en commençant par tourner autour de A', 1 en tournant en sens contraire.

117. Tout chemin qui part d'un point ordinaire pour contourner un point critique et revenir au point de départ, comme celui que nous avons considéré dans l'exemple précédent, s'appelle un lacet. On vient de voir que c'est à Texislence des lacets dans le conlour suivi qu'est due la naissance des périodes. Cette profonde considération due au géomètre Norvégien Abel a révolutionné le calcul intégral ; avant de traiter un deuxième exemple, insistons sur les conséquences de Tétude faite dans le paragraphe précédent. L'intégrale, prise suivant un chemin quelconque de 0 à M, et que nous désignerons par la lettre w, a été considérée comme fonction de :;, et Ton a vu que cette fonction est mal déterminée puisqu'à une valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u. Au contraire, si z est pris comme fonction de ?/,

la fonction z est parfaitement déterminée : à chaque valeur de u correspond une seule valeur de z^ et cette dernière fonction reprend périodiquement la même valeur pour toutes les valeurs de u comprises dans la formule

Pour k pair = 2A:', on a

Ikr! s'appelle une période de z. La plus petite période correspond à A' = 1 ; c'est la période 2::. L'équalion

peut donc être considérée comme déQnissanl, soit u en fonction de ;;, c'est-à dire arc sin z, soit la fonction inverse :; en fonction de w, c'est-à-dire le sinus. Il faut cependant donner en plus la valeur initiale de u pour :; = 0, soit w = 0. A vrai dire, nous n'avons étudié que la périodicité de z et

étude est incomplète. Mais la foactioo sio » est trop le pour que nous insistioos davantage. Nous préférons }uer la même méthode à des fonctions moins élémen-

T|iéorènie de Taylor

8. Auparavant nous démontrerons la formule de Taylor le cas où la variable est imaginaire. Etablissons d'abord mme du à Cauchy : « Si f(z) est une fonction continue '.forme et si elle a des dérivées bien déterminées eti chaque dune région limitée par un contour fermé, on aura les lies

effet entourons le point k{z = a) d'une petite cireon-

■:— Tj — f

INTÉGRATION DES FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES io5

féreDce (y) de centre A. On peut pour l'intégration remplacer le contour (C) par (y) et poser

z = a -\- 7' (cos t -^ i sin t) = a -{- re'^ dz = riè^dt.

Donc

Mais la fonction étant conliaue, on peut prendre r assez petit pour que f(a h- ré^ diffère de /*(«) de moins de e, quel que soit £.

Posons

f{a 4- ré') = fia) -h R ;

on aura

1"^ re")at =

Lorsque c tend vers zéro, il en est de même

ème de / Rrf/ et

il reste

CiG CHAPITRE III

:;e qui dt^monlrc la première (égalité (6) ; les autres s'ea déduilienl en prenanl les dérivées des deux membres par rapport ù a, ce qui se fera, daos le premier membre, en diUéreotiaDt jimplement sous le signe j .

H est très intéressant de remarquer que, si a est une variable,

la fonction .,-. I J^' d: prend la valeur /(a), tant que a

ilérieurducontoi ^elle liyne (C) e tre.