Cela posé, considérons l'inlégrale I . __

> ce qui vier I + / soit a

reste ù l'intérieur du contour (r) et la valeur zéro, en dehors du contour. Celle lif^ne (C) est donc une ligne de discontinuité, une coupure.

a pour valeur, d'après ce qui vient dVtre démontré, /{a -h f), pourvu que le point « + / soit aussi à l'intérieur du contour

/ïîL

Nous supposerons de plus ia distance du point A au point a -\- t iniérieure à la plus courte distance S de A à lit courbe (C), de manière à avoir pour tous les points de cette courbe

On pourra alors poser

INTÂORATION DBS FONCTIONS DS VARIABLES DCAOIN AIRES 15t

d'où

2nif{a+t)= / --l^^^dz

T5 dz -h •••

1 {i — aY 1 {z — aY{z —a — t)

Cette égalité devient, à cause des formules (6),

en posant

2iriR„ = <» / r- s/f^ A^^-

On pourra supposer n infini si Bn tend vers zéro. Or on peut remplacer l'intégrale le long de (C) par l'intégrale prise le long d*un cercle ayant pour centre le point A, enfermant le

point a + f tout en restant intérieur à (G). Soit p le rayon de ce cercle, M le modèle maximum de f{z) sur le cercle ; le module de z^^a — t sera supérieur à p — | M > ^^^^^ de la fraction à intégrer sera inférieur ou au plus égal au quotient de M par p** (p — \ t\). Comme l'intégrale de dz le long du cercle a pour module 2irp^ on aura enGn

Ttp

et cette dernière quantité tend évidemment vers zéro pour n = 00 • On a donc finalement, pour les quantités imaginaires comme pour les quantités réelles, la formule de Taylor

lie subsistera pour 'cle, conceatrique

)articulier, pour t

'e, on aura, à l'iiitf h l'origine

is formules établi ivants) snbsisteron ce. AÎDBi f, sÏD z, it le plan.

itjelde remarquer rte dans ce tbtoH neot d'être donné, landiâ qu'elle adm( me sur le cercle qui ir le cercle de ray aleurs rëelles de t.

ion des intégral

avons appelé iniéi -ienl diiïérentiel esl d'au radical portail

rapport à cette variable, et nous avons appris (n^ 46) à réduire ces intégrales à un certain nombre de types. Nous n'envisagerons ici que celles de la forme

w — Wo = /

où

les quantités a^, a,... a» sont supposées distinctes. Nous allons effectuer Xinversion^ c'est-à-dire étudier z comme fonction de u définie par Téquation (9).

Soit d*abord z^ un point ordinaire de z.\ on peut développer

— en série de Taylor dans le voisinage de Z\, et écrire V Z

du = [«0 -h a^{z — Zj) -+- ...] dz

d'où

u — u^^= oL^{z — Zi) -i- -J {z — z^y -h ...

On voit déjà que le point z^ est un point ordinaire de u ; mais^ déplus, si Ton résoud Téquation précédente par rapport k z — z^, ce qui se fera en posant, dans cette équation,

^ — ^1 = ?i(u — Wj) + Ww — Wi)" -h ...

et en déterminant les coeflîcients Pi, P,---» on trouve pour Pi, p,... des valeurs bien déterminées et uniques, ce qui prouve que u^ est un point ordinaire de la fonction z.

Etudions maintenant z dans le voisinage d'un point a, ; par exemple, supposons que z tende vers a^. Nous poserons

z = Gi -^ l'.

CHAPnaE m

IL v'A,{'>: -

est monoilrôme en (^ ^ « — ."ï, ; donc le point point de branchement pour u et autour de ce ;ent deux valeurs de u. Mais on tirera de lYquate v^s- — a,, et ù plus forte raUon s — c,, en )drôrae de u — w,,

le, pour la fonction inverse z, le point w, est un

mÛD ce qui se passe si :; devient iniîaie : posons

dt

(.-1v'(l-tt,()(l"- ^ — ("■ "\l -t- ai -h pi

;;fi<'-

Et par suite / s'écrira

< = (w — Wo)"^ [^ "^ ^(^ ■" '^o) -^ •••]•

Si m > 4, l'exposant est une vraie fraction et le point Uq est un point de branchement pour t et pour son inverse z.

Soit m = 4 ; le point Uq est un séro simple de / et par suite z est inGnic pour u = Wq.

Soit m = 3 : on aura

t = {u -— UqY [fl H- b{u — Wq) -h ]

ou encore

La fonction -s est infinie pour w == «o> et son inverse admet Wo comme zéro double ; nous dirons que w© est un pôle double de z. La fonction z ne cesse pas d'être uniforme aux environs de Uq,

Pour m = 2^ on voit que le point Wq est ordinaire pour t et pour son inverse z. Dans ce cas z reste finie pour toutes les valeurs finies de w, ce qui était d^ailleurs connu puisque dans ce cas z est, à une constante près, proportionnelle à un sinus.

Enfin, si m = 1, le point ti^ est un pôle pour t et un zéro simple pour z qui n'a, dans ce cas encore, ni branchement, ni point de discontinuité dans tout le plan ; on a en effet

/dz V - — «1

Avant de résumer cette discussion, nous allons donner quelques définitions.

Calcul itfnmisiWkL ^^

122. On appelle point ordinaire d'une fonction un point dans les environs duquel la fonction reste continue et uniforme ainsi que sa dérivée. Un pâle est, comme nous venons de le voir, un point oii la fonction devient infinie, mais qui est ordinaire ponr l'inverse de la fonction. En un pareil point l'on a donc, m déBi^nant un nombre positif entier

Le pôle «D est ici un pôle d'ordre m ; la quantité «„ qui figure au num(?rateur de la fraction du premier degré joue un rôle capital dans la théorie des fonctions, on lui a donné le nom de résidu de la fonciion relatif au pôle u„.

On appelle fonctions holomorphes, ou simplement etiiières, ou encore régulières les fondions unirormes qui ne présentent aucun point critique, sauf peul-ètrc k l'inûni et qui ont une dérivée en chaque point ; fonctions méromorphes (à formes fractionnaires) celles qui restent finies, sauf en certains points isolés qui sont des pôles.

Les polynômes entiers, e*, sin =, sont des fonctions holomorphes ; les fractions algébriques rationnelles, les quotients de deux fonctions hoJomorphes, par exemple lang :;, sont des fonctions méromorphes.

Suivant les cas, la fonction sera holomorphe ou méromorphe, dans tout le plan, ou dans une partie du plan.

183. Il existe d'autres espèces de points critiques; nous avons déjà rencontré, dans les expressions irrationnelles, des points autour desquels s'échangent les déterminations diverses d'une fonction multiforme. Ce sonl des points de branchement.

Considérons encore le logarithme : l'origine est un point critique pour logs; si l'affixe tourne autour de l'origine, le

'■ ça vv 1

INTEGRATION DES FONCTIONS DB VARIABLES IMAGINi^lRES 163

logarithme peut acquérir une infinité de valeurs comprises dans la formule (tome 1*' n^ 269).

log z = log'r -f- 1(? H- 2ATt)

et Ton voit qu'il suffira de tourner h fois autour de l'origine pour que le logarithme s augmente de 2A:ne. Â Torigine même, le logarithme a son module infini et son argument indéterminé.

Comme autre exemple, nous considérerons la fonction

— T. Cette fonction a une infinité de pôles qu'on obtient en

tin -

posant

k étant entier positif ou négatif. Ce sont des pôles dans le voisinage desquels la fonction reste bien déterminée ; ils sont isolés les uns des autres. 11 en est tout autrement du point !r = 0 qui ne peut être isolé des pôles voisins, car on pourra

toujours prendre k assez grand pour que le pôle ^ = t- soit

aussi voisin de l'origine qu'on voudra. De plus dans le voisinage de l'origine, la fonction pourra prendre toutes les valeurs que l'on voudra ; car, si l'on résout l'équation

sm - = A,

on trouvera une infinité de solutions données par la formulé

ou

/iit H- (— Vf a*

formule qui donne des points aussi voisins de l'origine qu'on le veut en prenant h suffisamment grand.

I6't CIIAFITRK III

Enfin la fonction e- pr(?sente l'exemple d'une foncttoa monodrôme et continue dans toul le plan, sauf à l'origine où son

module e •■ est nul ou infini suivant que cos d est négalil ou positif, et indéterminé si cos <f tend vers zéro en même temps que r

On appaWe points singuliers essentiels ceux où la fonction est indéterminée, tout en restant uniforme dans lu voisinage (ils sont donc critiques pour la fonction en môme temps que pour son inverse). Un point singulier essentiel n'est pas nécessairement un point de branciiement et, si on l'entoure d'un petit cercle, il se peut très bien qu'à l'instar de ce qui se passe pour un pôle, la fonction demeure holomorphe à l'extérieur et dans le voisinage de ce cercle. Au contraire, il ne sulfîrait pas d'entourer un point de branchement d'un petit cercle pour que, dans la région extérieure au petit cercle, la fonction devienne uniforme ; nous avons vu (n" 108) qu'il faut établir dans le plan de la variable des coupures infranchissables à la variable pour transformer une fonction multiforme en fonction uniforme. Le théorème suivant va nous montrer comment, par extension de ce qui se fait pour les fonctions méromorphes, on peut développer une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel.

1 84. Théorbme de Laurent, — Si une /onction uni/orme est continue dans la région comprise entre deux circonférences, elle peut être développée, dans cette région, en série doublement infinie suivant les puissances de l'accroissement de la variable positives et négatives.

Soit en efl!el a le centre des deux circonférences ; a + f un point de la couronne circulaire, c et c' les circonffîrences, r et î-" leurs rayons [r > r'). Décrivons autour du point a -i- t une circonférence 7 qui reste tout entière dans la couronne. On a vu (n" 117) que

ii±

^^ 'iv . *

Mais comme il n'y a pas de points critiques dans la région comprise entre les circonférences

d'où

Le long de c on a

Donc

z — a — t z — a [z — ay [z — a)'

A f fi=)

dz =

2Tzi I z — a 2-e / z — a

dz-\

= Aq 4- A^t -h A^l^ H--...

Le long de & on a

d'où

27zi I z—a

-^^^-dz — a—t

2Tà t I '

f{zyh+

-a)f{z)dz

En se reportant aux formules (12) et (13), on trouve enfin

fia + l) =... ?? 4- ^^ -+-...-+- 1^ H- a; + A,* -h...

Cette foraiule fait connaître le développement d'une fonction dans le voisinage d un point singulier essentiel.

124. Nous pouvons maintenant résumer les résultats acquis au n** 120 et qui concernent l'intégrale

où Z est un polynôme de degré m en z ; les racines Cj, flrj...a« de Z sont supposées distinctes.

Si m est supérieur à 4, les infinis de la fonction Z, c'est-à-dire les valeurs u^ de u qui rendent Z infinie, sont des points de branchement pour Z.

Si m = 3 ou 4, les points u^ sont des pôles de Z, simples si m = 4, doubles si m = 3, et Z est une fonction méromorphe.

Si m = 2 ou 1^ la fonction Z est holomorphe dans tout le plan.

126. Périodes des fonctions inverses des intégrales hypkrelliptiques.

Marquons dans le plan les points A,, Aj...Aw, dont lesaffixes sont a^, aj...aTO> ©t joignons les à l'origine par des lignes droites.

Désignons par Aj, A,... les valeurs de l'intégrale hyperelliptique comptées en ligne droite de 0 aux points précédents, et obtenues toutes en partant de la même détermination initiale dev^:

Ces intégrales sont unies, malgré la présence d*an dernier élément infini dans le coefficient différentiel (n<* 17). Si l'affixe décrit autour de Aj un cercle de rayon infiniment petit. Tintégrale prise le long de ce cercle est elle-même infiniment petite en vertu des mêmes considérations ; seulement dans ce circuit, le radical a changé de signe avec le facteur sj z — a^ de sorte qu'un lacet composé de la droite OA,, d'un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de Aj et de la droite A^O aura pour valeur

et il est bon de remarquer que le sens dans lequel on tourne autour de A^ est indifférent.

Cela posé, soit M un point quelconque et z son affixe;

i dz désignons par u^ l'intégrale / -^ comptée en ligne droite de

O à M et par u la même intégrale prise le long d'un autre chemin quelconque OBM ayant les mêmes extrémités. 11 s'agit de trouver une relation entre u et u^.

Fia. 9

Supposons, pour fixer les idées, qu'entre la droite OM et la courbe OBM, se trouvent trois points critiques Ap A„ A,. Le

168 CHAPITRE m

circuit OBM pourra être remplacé par le chemin OAiOA^OAjOM indiqué sur la figure par des flèches, à condition que le point décrivant ait toujours à sa gauche la région qui renferme les points critiques ; entre nos deux circuits, il ne reste aucun point critique. Les deux circuits sont donc équivalents, et l'on peut écrire