ODM *- OA1OA2OA3OM «^ 0A,0 ^ OA^O

La première intégrale du dernier membre a été calculée pins haut et a pour valeur 2A, ; quant à la deuxième, comme elle est prise avec la valeur initiale de \IZ égale et de signe contraire à celle qui a servi à nos définitions, sa valeur est — 2A, et, après le circuit autour de Aj, \/7, a repris sa valeur initiale; la troisième intégrale a donc pour valeur 2A8, et pour la m^me raison, la dernière aura pour valeur — u^, de sorte qu'on a

u — 2Ai — 2Aj -h 2As — î^o,

et, plus généralement, si Ton appelle k le nombre des points critiques compris entre la droite OM et le chemin OBM,

ti = 2A, - 2Aa 4- ... -h(— 1)*-*2A, -h ( - 1)X.

On pourra d'ailleurs tourner un nombre quelconque de fois autour de chaque point critique de sorte qu'on aura finalement

u = 2miA, H- 2m.^k.2 h- ... h- 2mk^k =t w^ (15)

Ainsi, à une môme valeur de z correspondent une infinité de valeurs distinctes de ii. Introduisons de nouvelles constantes,

2o)i = 2A, — 2Aj

(16) 2to,„«.i — 2A,„-, — 2A,

2to, =-- 2A3 — 2A3

Il est à remarquer qu'une différence quelconque 2Ai — 2A* pourra toujours s'évaluer linéairement en fonction des nouvelles constantes. D'ailleurs écrivons la formule (15) comme il suit :

u = 2mi{A, — A,) -h 2(Wi -+■ m^ (Aj — A3) \

-+-2(Wi-Hwia-+-7ns)(A3— AJ~h...-h2(;fiiH-Wj4-...-4-mik-j) > (17) (Aa-4 — Afc -+- 2(^1 4- w, -+- ... H- mk)Kk ± Wo ; )

dans celte formule le coefficient de A* sera zéro ou un suivant les cas. Si l'on lient compte de (16), Ton pourra écrire

u ^= 2w',u>, -h 2w'3ti)^ 4- ... -4- 2m'khik -H 2e Ajfc -h ( — 1)^^ (18)

les quanlilés m\^ m\,,, étant des nombres arbitraires positifs ou négatifs, mais entiers ou nuls ; e peut cire nul ou égal à l'unité. La formule (18) fait connaître toutes les valeurs de Vintégrale qui correspondent à une même valeur de :;. Le même fait peut s'exprimer autrement en effectuant Tinversion, c'est-à-dire en considérant z comme fonction delà variable u : lorsque u passe par loutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires, la fonclion z repasse périodiquement par les mômes valeurs et Ton a

z = f{u) = f{u -h 2m'iU)^ H- 2w'aU>2 4- ... Sm^OT-i^m -1)

Les quantités 2ojj, 2tù^.., sont appelées les /?morfeA^ de la fonction 2. Si w = 3, il y a deux périodes, el la fonclion est dite doublement périodique. Si m = 4, il semble y avoir Irois périodes distinctes ; mais nous avons déjà vu (n° 43) que, par une transformation biralionnelle, on ramène toujours le cas de m = 2k à celui de m = 2k — 1. Et d'ailleurs il sulfit d'intégrer le long d'un cercle de rayon infini pour voir que dans ce cas il existe une relation linéaire enlre les périodes. En effet,

comme le produit 2 x -,- lend vers zéro pour \ z \ = oc ^ Tin-

légrale en question a pour valeur zéro (n^ 112) ; d'ailleurs cette ntégrale équiv'aut aux m = 2A: lacets, ou plus exactement à

170 CHAPITRE lU

rintégrale obtenue de la manière suivante : le contour d'inté* gration sera un chemin fermé composé de OAj (côté droit), d'un cercle de rayon infiniment petit décrit autour de A^), de AjO (côté gauche), de Ox^^ (côté droit) et ainsi de suite, de manière que ce chemin fermé englobe tous les points critiques et qu'il n'en reste aucun. entre ce contour et le cercle de rayoa infini. On. aura alors

0 = 2Ai — 2A2 -+- 2A3 — 2A, + ... -H 2A,ft.-i — 2A* ou

2!D, ~h 2u>j -+- ... 4- 2a)gik,j = 0.

Ainsi, dans le cas de m = 4, il n'y a encore que deux périodes indépendantes et la fonction Z est encore doublement périodique.

Usage des Intégrales fmaginaires pour De calenl de quelques Intégrales réelles

iî67. L'intégration d'une fonction de variables imaginaires est souvent le moyen le plus simple d'obtenir des intégrales définies réelles.

Voici comment Ton opère : soit à calculer, a et J étant réelles ainsi que Xy

On considère^ dans le plan des xy^ un contour formé de la portion de droite ox qui va de a à 6 et d'une courbe ou ligne brisée retournant de 6 à a ; si l'on sait évaluer l'intégrale suivant les portions du contour autres que la droite ai, il en résultera nécessairement la valeur de I. La plupart du temps on pourra faire figurer dans le contour un cercle, ou un demi cercle^ ou un quart de cercle de rayon infini, et l'intégrale &

long de cette portion du contour se trouvera nulle en vertu du théorème démontré au n^ 113. D'autre part en isolant les points critiques, qui se trouvent dans la région limitée, par des petits cercles ou des portions de cercles ayant ces points pour centres^ on pourra appliquer les théorèmes relatifs aux fonctions uniformes, et ramener l'intégrale le long du contour total à celle le long des petits cercles.

Soient alors a, 6... / les pôles de la fonction dans la région limitée par notre contour » A, B,... L les résidus relatifs à ces pôles. Léa fonction» dans le voisinage du pôle a par exemple, pourra se mettre sous la forme

les valeurs de a étant entières, positives ou négatives, mais différentes de — 1 . On en conclut :

r(z)dz = A log (^ - a) 4- 2^ (^ - ar + ^

Fio. 10

et par suite, pour Tintégration prise le long du cercle (a) parcouru dans le sens direct.

27riA,

puisque tous les termes du second membre, sauf le premier, reprennent leur valeur initiale.

172 CHAPITRE m

Enfin, pour Tinlégrale le long de C, comme elle peut être remplacée par la somme des intégrales le long des pelils cercles autour des pôles (n° 108), on aura

f{z)dz = 27re(A -I- B 4- ... -h L) (19)

c'est-à-dire que finlégrale d'une fonction méf'omorphe, prise le long d'un contour fermé C parcouru dans le setis positif, est égale à 2rÀ multiplié par la somme des résidus de celte fonction relatifs aux pâles situés à V intérieur du contour C. Ge théorème est connu sous le nom de théorème des résidus,