A(. II
la deuxième intégrale est nulle le long du cercle y de rayon très petit décrit autour de a, parce qu'à l'intérieur de ce cercle Q{z) et ^(z) sont holomorphes. La première intégrale a pour valeur 2Tzi multipliée par le résidu relatif au pôle a,
savoir m^{a). En étendant ce résultat à tous les pôles et à tous les zéros, on trouve
tp(;r)D log f{z)dz = 2T,i/ino{a).
Dans cetle formule m est positif si a est un zéro, et négatif si c'est un pôle. En séparant les zéros «/, et les pôles py, on a linalenient
^■■B ^IBB méi'fr m
Comme cas particuliers, nous signalerons celui où ^(z) = z et celui où o(j) = i ; on trouve ainsi que, à l'intérieur dhm contour C, l'excès de la somme des zéros sur la somme des pâles comptés chacun autant de fois que Findique leur degré
de multiplicité a pour valeur n-: / ^ D log f{z)dz,
éij - ^ '^^
^m.,~ ^n?J=2\rJ ^ fj^)^ ^^'
et aussi que Vexcès du nombre des zéros sur le nombre des pâles, à rintérieur du même contour C, a pour valeur
Considérons par exemple un polynôme algébrique
f{z) = \zi^ -h k,z^-' 4- ...,
et prenons pour contour d*intégration C un cercle de rayon inflni. Comme il n'y a pas de pôles, le premier membre de (21) donne le nombre des racines de f{z)\ quant au second membre, on peut écrire
% étant une expression dont le module est inférieur à tout nombre fixé y] dès que z est suffisamment grand. On a donc
Le premier terme du deuxième membre a pour valeur %:ipj et le second est inférieur à 2tdr\^ c*est*à-dire tend vers zéro avec Y). Par conséquent :
c'est-à-dire que le nombre des racines d'une équation algé-brique est égal au degré de V équation. Ce théorème est dû à Dalembert ; la démonstration est de Cauchy.
120. Nous allons appliquer la même méthode au calcul de quelques intégrales fréquemment employées. Soit d'abord
I = / T"*. "^o dx
/ ces X
/ Slïl X ,
Ces deux intégrales sont bien définies. Nous allons déduire leur valeur de celle de
INTÉGRATION DES FONCTIONS DK YARIABLES IMAGINAIRES i75
A cet effet considérons Tinlégrale
dz
prise suivant un contour composé de Taxe des a: et d'une demicirconférence de rayon infiniment grand ayant l'origine pour
ze*
:5 tend vers zéro pour ^ = 00, l'intégrale
centre. Comme —. ^ ^,
le long de la demi-circonférence est nulle et la formule (19) se réduit ici à
do^ = 27tiA,
A étant le résidu relatif au point a v^ — 1, seul pôle de la région considérée. Tout revient à calculer ce résidu : e^ a, au pôle A, la valeur finie, non nulle, e-"". Si Ton pose z = ai -h h, on aura
a^ -h ;s« *" 2aih -h h^ "" /l ^ 2ai -h h '
le coefficient de r. tend vers tçtj et le résidu de ^a . ^2 est 9-: .
On a donc
2ai
2ai
■s dx =
)ù l'on déduit (cf n° 95
130. La fonction p— o et 1171 est mal di5tcrm il une coupure depuis '.
e de l'axe ox. Cela pos
us considérerons un co rd supérieur OAdeiac mt pour centre l'origin
;onféreuce de rayon ii tre. Ce contour" renfe : — 1, et le résidu relatil
tégrale / i- — ■ ■ d^^
Ire défini, a donc pour
lais, pour J — 30 et pi
*IIPP^"»*W
INTÉGRATION DBS FONCTIONS ÙE VARIABLES IMAGINAIRES T
Itmile zéro; les iatégrales le long des circonférences sont don nulles et l'intégrale le long du contour se réduit aux deux int^ grales prises le long des deuxbords de la coupure, de sorte qu l'on a
d'autre part, comme
ac- ' = «(»— ') loga,
après un tour autour de 0 le long de laclrconféreDccderayo inlïni, le logaritlimc de x est augmenté de 2ici et le coefliciei différentiel est multiplié par e^^ ~ *'^'", de sorte que
L'identité (61) devient ainsi
[1 e<-P - l'^'^'J x\ = {-\f- ^tTÀ, d'où l'on tire
CtLCOL IIFIHITÉBUUL
Oaadonc, GamullipliaD
g- (p - Dit.-,
2it.
OU enfin, à cause de la formu
En particulier, pourp
f xi lurp =
comme il est facile de le vé
POLYNOMES DE LEG!
FONCTIONS EULÉRIEN
131. Nous nous occuperons dans ce chap de fonctions auxquelles nous appliquerons dans le chapitre précédent, mais sur lesque] taoce, nous croyons utile de donner quelqi mentaires.
132. On désigne sous le nom de polyi ou fondions X„ les coefiîcients du i (i — 2ax -t-»')~' suivant les puissances asc
Noas rencontrerons fréquemment ces ] allons en donner ici quelques propriétés.
