III. X, est un polynôme entier en En effet posons

T = »' — 2m: = »(« — 2x le développement de (! — 2*r + a') ' s'éc

CHAFlTEtE IV

Pour queT* fournisse un terme en a", i| faudra que k soit moins égal à ^ et au plus h. n ; prenons dans T*" le terme léral

ur que l'exposant de a égale rt,il faut prendre l'exposant ;> dcr il à 2A — H ; celte valeur est comprise entre zéro et n, ce établit la troisième propriété, ^e lecteur véritïera sans peine que

X =-?-. ~ fr' — II"

" 2"}% 1 dx" ' ' '

prenant dans le développement de (x* — 1)" le terme en et en le dérivant n fois.

V. Il résulte de la forme qui vient d'être donnée à X„ que ^uation X„^0 a toutes ses racines réelles, dislmctes et éprises entre — l et -h l. En effet l'équalion

racines égales à 1 et h égales à — 1 ; sa dérivée a (n — Il ines égales an- 1, n — 1 égales à — 1 et une (nulli^) iiprise entre — 1 et + 1 ; la dérivée seconde aura n — 2 ines égales à + 1, h — 2 ('gales à — 1, une entre zéro ■t- i, une entre zc'ro et — 1, et ainsi de suite en appliquant proche en proche le théorème de Rolle.

POLYNOMES DB LEGENDRB ^'ONCTIONS EULERIENNiCS 181

H suiQt pour établir ces deux propriétés de voir que, pour a: = 1 ou — 1 , (1 — 2ouc -h a^) à devient